文章目录数学期望 \color{blue}数学期望 数学期望总体和样本 \color{blue}总体和样本 总体和样本方差 \color{blue} 方差 方差1. 总体方差 \color{blue}1.总体方差 1.总体方差2. 样本方差 \color{blue}2.样本方差 2.样本方差3. 标准差 \color{blue}3.标准差 3.标准差4. 抽样方差 \color{blue}4.抽样方差 4.抽样方差5. 标准误差 \color{blue}5.标准误差 5.标准误差6. 均方差 \color{blue}6.均方差 6.均方差7. 均方误差 \color{blue}7.均方误差 7.均方误差8. 均方根误差 \color{blue}8.均方根误差 8.均方根误差9. 协方差 \color{blue}9.协方差 9.协方差10. 极差 \color{blue}10.极差 10.极差数学期望 \color{blue}数学期望 数学期望1.概念:在概率论和统计学中,数学期望 (mean)(或 均值,亦简称期望)是试验中每次可能结果的 概率 乘以其结果的总和,是最基本的数学特征之一。它反映随机变量 平均取值 的大小。 需要注意的是,期望值并不一定等同于常识中的“期望”——“期望值”也许与每一个结果都不相等。期望值是该变量输出值的 平均数 。期望值并不一定包含于变量的输出值集合里。
2. 离散型随机变量的期望:离散型随机变量的一切可能的取值 X i X_i Xi 与对应的概率 p ( X i ) p(X_i) p(Xi) 乘积之和称为该离散型随机变量的数学期望(若该求和绝对收敛),则记为 E ( X ) E(X) E(X)。 若离散型随机变量 X X X 的取值为 X 1 X_1 X1 , X 2 X_2 X2 , X 3 X_3 X3 , … \ldots … , X i X_i Xi , … \ldots … ; p ( X 1 ) p(X_1) p(X1) , p ( X 2 ) p(X_2) p(X2) , p ( X 3 ) p(X_3) p(X3) , … \ldots … , p ( X i ) p(X_i) p(Xi) , … \ldots … 则为 X X X 对应取值的概率。 E ( X ) = X 1 ∗ p ( X 1 ) + X 2 ∗ p ( X 2 ) + X 3 ∗ p ( X 3 ) + … + X i ∗ p ( X i ) E(X) = X_1*p(X_1)+X_2*p(X_2)+X_3*p(X_3)+\ldots+X_i*p(X_i) E(X)=X1∗p(X1)+X2∗p(X2)+X3∗p(X3)+…+Xi∗p(Xi) E ( X ) = ∑ i = 1 ∞ X i ∗ p ( X i ) \color{red}{E(X) = \sum_{i=1}^\infty X_i*p(X_i)} E(X)=i=1∑∞Xi∗p(Xi) 3. 连续型随机变量的期望:设连续性随机变量X的概率密度函数为 f ( x ) f(x) f(x),若积分绝对收敛,则称积分的值 ∫ − ∞ ∞ x f ( x ) d x \int_{-\infty}^{\infty} {xf(x)} \,{\rm d}x ∫−∞∞xf(x)dx 为随机变量的数学期望,记为 E ( X ) E(X) E(X)。 E ( X ) = ∫ − ∞ ∞ x f ( x ) d x \color{red}{E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} {xf(x)} \,{\rm d}x} E(X)=∫−∞∞xf(x)dx 若随机变量 X 的分布函数 F ( x ) F(x) F(x) 可表示成一个非负可积函数 f ( x ) f(x) f(x) 的积分,则称 X X X 为连续性随机变量, f ( x ) f(x) f(x) 称为 X X X 的概率密度函数。
总体和样本 \color{blue}总体和样本 总体和样本
方差 \color{blue}方差 方差概率论中方差用来度量随机变量和其数学期望(均值)之间的偏离程度。 方差用 V a r ( X ) Var(X) Var(X) 或者 D ( X ) D(X) D(X) 表示:D ( X ) = E [ X − E ( X ) ] 2 = E [ X 2 − 2 X E ( X ) + ( E X ) 2 ] = E ( X 2 ) − 2 ( E X ) 2 + ( E X ) 2 = E ( X 2 ) − ( E X ) 2 (1) \color{red}
D(X)=E[X−E(X)]2=E[X2−2XE(X)+(EX)2]=E(X2)−2(EX)2+(EX)2=E(X2)−(EX)2(1)
① . 总体方差(有偏估计) \color{blue}①. 总体方差 (有偏估计) ①.总体方差(有偏估计)σ 2 = ∑ i = 1 N ( X i − μ ) 2 N \color{red}\sigma^2 = \frac{\sum_{i=1}^N(X_i-\mu)^2}{N} σ2=N∑i=1N(Xi−μ)2 σ 2 \sigma^2 σ2 为总体方差, N N N 为总体的个数, X i X_i Xi为变量, μ \mu μ 为总体均值。 我们中学其实就已经学到了这个标准定义的方差,除数为总体样例的个数 n n n。 ② . 样本方差(无偏估计) \color{blue}②. 样本方差 (无偏估计) ②.样本方差(无偏估计)S 2 = 1 n − 1 ∑ i = 1 n ( X i − X ‾ ) 2 \color{red}{S^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n(X_i-\overline{X})^2} S2=n−11i=1∑n(Xi−X)2 S 2 S^2 S2 为样本方差, n ( n < < N ) n(n<<N) n(n<<N) 为样本的个数, X i X_i Xi 为变量, X ‾ \overline{X} X 为样本均值。 在实际工作中总体方差 σ 2 \sigma^2 σ2 几乎算不出来,我们一般用 S 2 S^2 S2代替 σ 2 \sigma^2 σ2。这里 μ 为什么要用 X ‾ 代替呢? \color{fuchsia}这里 \mu为什么要用 \overline{X}代替呢? 这里μ为什么要用X代替呢?同理总体均值 μ \mu μ 也很难得到,所以只能使用样本均值 X ‾ \overline{X} X 代替,但是这样肯定就会有误差,那么误差是大还是小?又差多少呢 ?这就是下面的问题了。 为什么样本方差的除数不是 n , 而是 ( n − 1 ) 呢? \color{fuchsia}{为什么样本方差的除数不是n,而是 (n-1)呢?} 为什么样本方差的除数不是n,而是(n−1)呢?简单的来说, X ‾ \overline{X} X 是用 n n n 个样本所求到的平均数,因此样本平均数 X ‾ \overline{X} X 一旦确定下来,就只有 n − 1 n-1 n−1 个数不受约束,第 n n n 个数已经可以被均值和前面 n − 1 n-1 n−1 个数确定下来了,所以第 n n n 个数也就没有啥信息量了,没用了(自由度由 n n n 变成了 n − 1 n-1 n−1)。 证明:首先我们并不知道样本方差与总体方差之间具体相差多少, 这里便使用下式来对
σ
2
\sigma^2
σ2 进行估计:
S2=n1i=1∑n(Xi−X)2=n1i=1∑n[(Xi−μ)−(X−μ)]2=n1i=1∑n[(Xi−μ)2−2(Xi−μ)(X−μ)+(X−μ)2]=n1i=1∑n(Xi−μ)2−n2(X−μ)i=1∑n(Xi−μ)+n1i=1∑n(X−μ)2(2)
其中
(
X
‾
−
μ
)
\color{red}(\overline{X}-\mu)
(X−μ) 为常数,并且 所以
S2=n1i=1∑n(Xi−μ)2−2(X−μ)2+n1(X−μ)2i=1∑n1=n1i=1∑n(Xi−μ)2−2(X−μ)2+(X−μ)2=n1i=1∑n(Xi−μ)2−(X−μ)2(4)
如果总体均值 μ 已知,则样本方差 [ 1 n ∑ i = 1 n ( X i − μ ) 2 ] 的期望等于总体方差 σ 2 \color{fuchsia}{如果总体均值 \mu 已知,则样本方差 [\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(X_i-\mu)^2] 的期望等于总体方差 \sigma^2} 如果总体均值μ已知,则样本方差[n1∑i=1n(Xi−μ)2]的期望等于总体方差σ2因此
E(S2)=E[n1i=1∑n(Xi−μ)2−(X−μ)2]=E[n1i=1∑n(Xi−μ)2]−E[(X−μ)2]=σ2−E[(X−μ)2](5)
从上式可得,只有当样本均值 X ‾ 等于总体均值 μ 时,样本方差的期望才等于总体方差 \color{fuchsia}{从上式可得,只有当样本均值\overline{X}等于总体均值\mu时,样本方差的期望才等于总体方差} 从上式可得,只有当样本均值X等于总体均值μ时,样本方差的期望才等于总体方差最终可推出
E(S2)=E[n1i=1∑n(Xi−X)2]<=E[n1i=1∑n(Xi−μ)2]=σ2
由此可见用样本方差估计的话,会低估 ( 小于 ) 总体方差,那又会低估多少呢? \color{fuchsia}{由此可见用样本方差估计的话,会低估(小于)总体方差,那又会低估多少呢?} 由此可见用样本方差估计的话,会低估(小于)总体方差,那又会低估多少呢?E ( S 2 ) = σ 2 − E [ ( X ‾ − μ ) 2 ] (由(5)式可得) \color{red}
E(S2)=σ2−E[(X−μ)2](由(5)式可得)
由于样本均值的期望等于总体均值,则可推出 \color{fuchsia}{由于样本均值的期望等于总体均值,则可推出} 由于样本均值的期望等于总体均值,则可推出E [ ( X ‾ − μ ) 2 = E [ ( X ‾ − E ( X ‾ ) ) 2 = D ( X ‾ ) = D [ 1 n ∑ i = 1 n X i ] = 1 n 2 D [ ∑ i = 1 n X i ] = 1 n 2 ∑ i = 1 n D ( X i ) = n σ 2 n 2 = σ 2 n (由(1)式可得) \color{red}
E[(X−μ)2=E[(X−E(X))2=D(X)=D[n1i=1∑nXi]=n21D[i=1∑nXi]=n21i=1∑nD(Xi)=n2nσ2=nσ2(由(1)式可得) 最终可推出 E ( S 2 ) = σ 2 − σ 2 n = n − 1 n σ 2 \color{red}
E(S2)=σ2−nσ2=nn−1σ2
由此可见低估了 1 n σ 2 \color{fuchsia}{由此可见低估了\frac{1}{n}\sigma^2} 由此可见低估了n1σ2再将上面式子进行恒等变形 n n − 1 E ( S 2 ) = σ 2 n n − 1 ∗ E [ 1 n ∑ i = 1 n ( X i − X ‾ ) 2 ] = σ 2 E [ 1 n − 1 ∑ i = 1 n ( X i − X ‾ ) 2 ] = σ 2 \color{red}
n−1nE(S2)=σ2n−1n∗E[n1i=1∑n(Xi−X)2]=σ2E[n−11i=1∑n(Xi−X)2]=σ2
因此可以用以下式子对总体方差进行估算,也就是最终样本方差的除数是
n
−
1
n-1
n−1 的原因
S2=n−11i=1∑n(Xi−X)2
③ . 标准差(均方差,记作 S D ) \color{blue}③.标准差(均方差,记作SD) ③.标准差(均方差,记作SD)随机变量 X X X 标准差定义
σ
=
E
[
X
−
E
(
X
)
]
2
=
E
(
X
2
)
−
(
E
X
)
2
\color{red}\sigma = \sqrt{E[X-E(X)]^2} = \sqrt{E(X^2)-(EX)^2}
σ=E[X−E(X)]2
=E(X2)−(EX)2
σ = ∑ i = 1 N ( X i − μ ) 2 N \color{red}\sigma = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^N(X_i-\mu)^2}{N}} σ=N∑i=1N(Xi−μ)2 样本方差对应的标准差
S
=
∑
i
=
1
n
(
X
i
−
X
‾
)
2
n
−
1
\color{red}S = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^n(X_i-\overline{X})^2}{n-1}}
S=n−1∑i=1n(Xi−X)2
④ . 抽样方差(样本均值的方差) \color{blue}④.抽样方差(样本均值的方差) ④.抽样方差(样本均值的方差)假如我们的总体容量为 N N N,我们将分成 k k k 个样本,设其中一个样本的容量为 n n n 。 我们前面讲到的样本方差是将容量为 n n n 的样本作为一个整体,样本中的第 1 , 2 , 3 , … , n 1,2,3,\ldots,n 1,2,3,…,n 个体作为变量所求的方差。 这里我们则是将一个样本的均值定义为一个变量(样本均值记为 Y ‾ \overline{Y} Y, Y ‾ \overline{Y} Y 做为一个随机变量), k k k 个样本均值作为一个整体,最后求到 Y ‾ \overline{Y} Y 的总体方差,也就是抽样方差。 ⑤ . 标准误差(标准误,样本均值的标准误差) \color{blue}⑤.标准误差(标准误,样本均值的标准误差) ⑤.标准误差(标准误,样本均值的标准误差)Y ‾ \overline{Y} Y 的总体标准差称为标准误差(就是抽样方差开个根号),记作 S E ( Y ‾ ) SE(\overline{Y}) SE(Y)。 抽样方差和总体方差的关系: 如果已知总体的标准差 ( σ 2 ) ,那么抽取无限多份大小为 n 的样本 , \color{fuchsia}如果已知总体的标准差(\sigma^2),那么抽取无限多份大小为 n 的样本, 如果已知总体的标准差(σ2),那么抽取无限多份大小为n的样本,每个样本各有一个平均值,所有样本平均值的方差可证明为 \color{fuchsia}每个样本各有一个平均值,所有样本平均值的方差可证明为 每个样本各有一个平均值,所有样本平均值的方差可证明为(注意!不是一份样本里观察值的方差(那是 S 2 )) \color{fuchsia}(注意!不是一份样本里观察值的方差(那是 S^2 )) (注意!不是一份样本里观察值的方差(那是S2))σ Y ‾ 2 = σ 2 n \color{red}\sigma_{\overline{Y}}^2 = \frac{\sigma^2}{n} σY2=nσ2 在现实中人们更喜欢用两边的算术平方根 S D ( Y ‾ ) = σ Y ‾ = σ n \color{red}SD(\overline{Y}) = \sigma_{\overline{Y}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} SD(Y)=σY=n σ 由于 σ \sigma σ 在现实中往往很难得到,所以通常用 S S S(样本的标准差)来代替 S E ( Y ‾ ) = S n \color{red}SE(\overline{Y}) = \frac{S}{\sqrt{n}} SE(Y)=n S σ Y ‾ 2 : 样本均值的方差 \sigma_{\overline{Y}}^2 : 样本均值的方差 σY2:样本均值的方差S D ( Y ‾ ) : 样本均值的标准“差” SD(\overline{Y}) : 样本均值的标准“差” SD(Y):样本均值的标准“差”S E ( Y ‾ ) : 样本均值的标准“误” SE(\overline{Y}) : 样本均值的标准“误” SE(Y):样本均值的标准“误”
总结一下 因为每进行一次抽样就能得到一个样本均值 Y ‾ ,所以 Y ‾ 同样是一个随机变量。 \color{fuchsia}因为每进行一次抽样就能得到一个样本均值 \overline{Y},所以 \overline{Y} 同样是一个随机变量。 因为每进行一次抽样就能得到一个样本均值Y,所以Y同样是一个随机变量。这个新随机变量的总体方差叫做“抽样方差”( S a m p l i n g V a r i a n c e ) \color{fuchsia}这个新随机变量的总体方差叫做“抽样方差”(Sampling Variance) 这个新随机变量的总体方差叫做“抽样方差”(SamplingVariance)这个新随机变量的总体标准差叫做“标准误”( S t a n d a r d E r r o r ) \color{fuchsia}这个新随机变量的总体标准差叫做“标准误”(Standard Error) 这个新随机变量的总体标准差叫做“标准误”(StandardError)具体怎么应用这里就不细说
…
\ldots
… 篇幅有限,大家有兴趣的话可以自己去去找找资料。 ⑥ . 均方差(也称标准差,上面说过了) \color{blue}⑥.均方差(也称标准差,上面说过了) ⑥.均方差(也称标准差,上面说过了)⑦ . 均方误差(记作: M S E ) \color{blue}⑦.均方误差(记作:MSE) ⑦.均方误差(记作:MSE)均方误差:各个数据估计值偏离数据真实值的平方和的平均数(误差平方和的平均数)M S E = ∑ i = 1 n ( X i − x i ) 2 n \color{red}MSE = \frac{\sum_{i=1}^n(X_i-x_i)^2}{n} MSE=n∑i=1n(Xi−xi)2 X i : 数据的估计值 X_i: 数据的估计值 Xi:数据的估计值x i : 数据的真实值 x_i: 数据的真实值 xi:数据的真实值
⑧ . 均方根误差(记作: R M S E ) \color{blue}⑧.均方根误差(记作:RMSE) ⑧.均方根误差(记作:RMSE)均方误差的算术平方根 R M S E = ∑ i = 1 n ( X i − x i ) n \color{red}RMSE = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^n(X_i-x_i)}{n}} RMSE=n∑i=1n(Xi−xi) ⑨ . 协方差 \color{blue}⑨.协方差 ⑨.协方差维基百科定义:在概率论和统计学中,协方差(Covariance)用于衡量两个随机变量的联合变化程度。而方差是协方差的一种特殊情况,即变量与自身的协方差。 为什么说方差是协方差的特殊情况呢?前面我们讲到了方差的表达式 D ( X ) = E [ X − E ( X ) ] 2 = E [ X − E ( X ) ] [ X − E ( X ) ] \color{red}D(X)=E[X-E(X)]^2 = E[X-E(X)][X-E(X)] D(X)=E[X−E(X)]2=E[X−E(X)][X−E(X)] 根据定义,协方差是衡量两个随机变量的联合变化程度,设两个随机变量分别为
X
,
Y
X,Y
X,Y。 C o v ( X , Y ) = E [ X − E ( X ) ] [ Y − E ( Y ) ] \color{red}Cov(X,Y) = E[X-E(X)][Y-E(Y)] Cov(X,Y)=E[X−E(X)][Y−E(Y)] 协方差表示的是两个变量的总体的误差;当 X = Y X=Y X=Y 时,表示的就是只有一个变量总体的误差的方差,所以方差是协方差中两个随机变量相等时的一种特殊情况。 C o v ( X , Y ) = E [ X − E ( X ) ] [ Y − E ( Y ) ] = E [ X Y − X E ( Y ) − Y E ( X ) + E ( X ) E ( Y ) ] = E ( X Y ) − E ( X ) E ( Y ) − E ( X ) E ( Y ) + E ( X ) E ( Y ) = E ( X Y ) − E ( X ) E ( Y ) \color{red}
Cov(X,Y)=E[X−E(X)][Y−E(Y)]=E[XY−XE(Y)−YE(X)+E(X)E(Y)]=E(XY)−E(X)E(Y)−E(X)E(Y)+E(X)E(Y)=E(XY)−E(X)E(Y)
一般我们都会用 E ( X Y ) − E ( X ) E ( Y ) E(XY)-E(X)E(Y) E(XY)−E(X)E(Y) 来计算协方差 性质:1. C o v ( X , X ) = D ( X ) \color{fuchsia}1.Cov(X,X) = D(X) 1.Cov(X,X)=D(X)2. C o v ( X , Y ) = C o v ( Y , X ) \color{fuchsia}2.Cov(X,Y) = Cov(Y,X) 2.Cov(X,Y)=Cov(Y,X)3. C o v ( a X , b Y ) = a b C o v ( X , Y ) \color{fuchsia}3.Cov(aX,bY) = abCov(X,Y) 3.Cov(aX,bY)=abCov(X,Y)对于随机变量序列 X 1 , . . . , X n X_1, ..., X_n X1,...,Xn 与 Y 1 , . . . , Y m Y_1, ..., Y_m Y1,...,Ym,有 4. C o v ( ∑ i = 1 n X i , ∑ j = 1 n Y j ) = ∑ i = 1 n ∑ j = 1 n C o v ( X , Y ) \color{fuchsia}4.Cov(\sum_{i=1}^nX_i,\sum_{j=1}^nY_j) = \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^nCov(X,Y) 4.Cov(∑i=1nXi,∑j=1nYj)=∑i=1n∑j=1nCov(X,Y)5. C o v ( X , k 1 Y 1 + k 2 Y 2 + … + k n Y n ) = k 1 C o v ( X , Y 1 ) + ⋯ + k n C o v ( X , Y n ) \color{fuchsia}5.Cov(X,k_1Y_1+k_2Y_2+\ldots+k_nY_n) = k_1Cov(X,Y_1)+\dots+k_nCov(X,Y_n) 5.Cov(X,k1Y1+k2Y2+…+knYn)=k1Cov(X,Y1)+⋯+knCov(X,Yn)6. X , Y 变化方向相同时(比如同时变大或者同时变小) , 协方差为正。 \color{fuchsia}6.X,Y变化方向相同时(比如同时变大或者同时变小),协方差为正。 6.X,Y变化方向相同时(比如同时变大或者同时变小),协方差为正。7. X , Y 变化方向不相同时(比如同一个变大,另一个变小) , 协方差为负。 \color{fuchsia}7.X,Y变化方向不相同时(比如同一个变大,另一个变小),协方差为负。 7.X,Y变化方向不相同时(比如同一个变大,另一个变小),协方差为负。8. 当 X , Y 独立时, C o v ( X , Y ) = 0 \color{fuchsia}8.当 X,Y 独立时,Cov(X,Y) = 0 8.当X,Y独立时,Cov(X,Y)=0因为当 X , Y X,Y X,Y 独立时,则有 E ( X Y ) = E ( X ) E ( Y ) E(XY) = E(X)E(Y) E(XY)=E(X)E(Y),所以 C o v ( X , Y ) = 0 Cov(X,Y) = 0 Cov(X,Y)=0。但是反过来协方差等于 0 , X , Y X,Y X,Y 并不一定独立。 ⑩ . 极差(全距) \color{blue}⑩.极差(全距) ⑩.极差(全距)这个最简单了,就是最大值减去最小值的差值 |
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