巧用等和线解决向量双变量问题

平面向量的线性运算、向量共线以及以向量为背景的最值问题是近几年高考考查的重点和热点.本文通过探究双变量问题的多种解法，体验等和线定理应用的简洁性、高效性.

这些方法都总结在《高一26个核心知识专题+高一13个重点题型专题》中。

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向量等和线以 平 面 向 量 基 本 定 理 为 基 础，即 一个向量可以用一组不共线的向量表示出来，此 时 两 基 底 的 系 数 共 同 决 定 了 第 三 条 向 量 终 点 的 位 置，常 用 的 结 论 是 当 系 数 之 和 为 1 时，即 三 条 共起点的向量 的 终 点 在 同 一 条 直 线 上． 由 于 高 考 题中很多向量题目都涉及双变量系数和的问题，在遇到这类问题时，解题大体上可分为以下三个 步骤: 确定 等 和 线 值 为 1 的 线 ( 即 两 个 基 底 的 终 点所在的 直 线) ; 平 移 该 线，结 合 动 点 的 可 行 域，分析何处取得最大值和最小值; 从长度的比值或 点的位置 两 个 角 度，计 算 最 大 值 和 最 小 值，如 此 便求得系数和的范围．

而对于求解两个系数的一般线性关系式问题， 由于向量可以通过数乘运算将向量进行同向或者反 向伸长、压缩，所以所有系数的线性关系式都可以通 过改变向量的基底，将所求系数的线性关系式转换 为两个新的基底的系数和问题，最后再利用等和线 三步骤解决问题．