概率论07：多元随机变量的条件|独立|期望|方差

Conditioning

1. Conditional PMFs

之前接触过条件概率下随机变量的PMF，当时的条件也是与单一随机变量有关的。

二元随机变量的条件概率

当有两个随机变量，其中一个随机变量的取值作为另一个随机变量的条件时，条件PMF的表示方法则有所变化。

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虽然对于条件概率本身来说，仅仅是改变了随机变量的符号，但是由这个公式可以得到一个求二元随机变量全概率模型的简便方法（图右下角所示）。

多元随机变量的条件概率

由二元推广得到多元，同样是joint PMF可以通过marginal PMF乘以条件概率得到。

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2. Conditional Expectations

条件概率下的期望

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条件概率下的全概率公式与期望公式

这是一个将复杂计算分治的常用工具。把总体期望分解为每个条件下的期望的加权。

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在X的期望收敛的情况下，公式同样也适用于无穷项。

Independence

r.v. 互相独立的定义

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这个公式用文字表示为：检验多个随机变量是否相互独立的标准是，joint PMF是否能由相应随机变量的marginal PMF相乘得到。

互相独立的r.v. 的期望

相互独立使他们拥有一些便于计算的性质

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互相独立的r.v. 的方差

同样是便于计算的性质

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Summary of Results for Special Random Variables

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很多时候，方差可以通过期望来计算：

这个公式的证明可以由方差的定义入手；

方差指示了一组变量的离散程度，也就是每个变量与变量的平均数的差值的平均数，由于差值相加最后会等于0，所以将差值平方；

对于随机变量来说，平均数即期望值，所以方差的定义可以用这个公式表达：

将这个公式逐步化简：