黎曼度量 #几何,英文名是Geometry,原意是大地测量。既然是测量,就必须有参考物,还有得知道如何计算距离。 有了参照物,我们就可以建立坐标系,把每个点的坐标都写下来,至于计算距离,我们有伟大的勾股定理: 但这里我们忽略了两个问题。 第一个问题是,我们不一定使用直角坐标系,如果使用极坐标,那么应该是 因此可以联想,最一般的形式应该是 ds2=E(x1,x2)(dx1)2 2F(x1,x2)dx1dx2 G(x1,x2)(dx2)2 这里的x1,x2 第二个问题是,我们当然不只是研究2维平面,我们还要研究n 这里的x=(x1,x2,…,xn) 另一方面,黎曼度量也可以看成是一种测量的标准。好比各个国家有各自的货币,不尽相同,但如果有一个公式,可以把任意一个国家的货币换算为等价的黄金数量,那么就可以解决不同货币数目的比较问题。黎曼度量有着类似的作用,与其说它给出了不同位置的不同计算距离的方式,倒不如说它统一了各个位置计算距离的方式。 顺便需要说明的是,从只是定义距离的角度来看,我们其实不一定要使用二次型,比如使用3次型、4次型甚至更复杂的形式都可以,但是就实用价值而言,我们只研究二次型的。但即便如此,已经有我们研究不完的问题了。 一些例子 #什么情况下会产生(或许说需要)非常数的黎曼度量呢?前面已经看到,将直角坐标变换为极坐标,就会出现非常数的黎曼度量,也就是说,哪怕在平直空间中,只要使用曲线坐标系,就会出现非常数的黎曼度量。 此外,弯曲空间的黎曼度量一定是非常数的。有没有一些具体的例子呢?最经典的应该是二维球面了(是二维球面,不是三维球坐标,读者不要弄混了),选定半径为1,那么球面坐标是 那么它的黎曼度量就是 ds2=dx2 dy2 dz2=dθ2 sin2θdφ2 另外一个很生动的例子是从《费曼物理学讲义》第二卷中学习到的,假设我们在一个平直的空间中,但空间的温度各处不同。我们用一把热膨胀系数很大的尺子作为我们的测量工具,那么会出现什么结果呢?在温度高的地方,尺子膨胀,那么测量的结果会变小;相反,在温度低的地方,尺子缩小,测量结果会变大。同样的距离,在温度高的地方,可能测量结果是50cm,在温度低的地方,测量的结果是100cm,因此需要一个非常数的度规将它们统一起来——要不就是50乘以2,要不就是100除以2,或者50乘以4、同时100乘以2,等等。不难想到,这时候黎曼度量应该具有的形式是(可以考虑二维的、三维的) 这就导致了一个弯曲空间的出现——这时候不是空间“弯曲”了,而是尺子“弯曲”了。这个例子也出现在《费曼引力学讲义》中,据费曼所述,它是Robertson的一个学生发明的。由于明显的物理意义,它也被称为“等温参数”或者“等温坐标系”。事实上,这跟“运动是相对的”有点类似,一个弯曲空间的出现,可能是因为空间本身的弯曲(就像球面那样),也可能是尺子的“弯曲”(就像热膨胀的尺子),但它们的数学结果是一样的。 局部直角坐标系 #现在我们尝试用矩阵形式来描述黎曼度量。记g=gμν,x=xα,dx=dxα 注意到矩阵g 也就是说,最后转化为hdx的模长,而这个模长跟平直空间的勾股定理是一致的。我们可以认为,矩阵h正好描述了当地的坐标系,在坐标系h下的向量dx,正是等价于当地的局部直角坐标系的向量hdx。或者说,h就是从当地坐标系到局部直角坐标系的变换矩阵(雅可比矩阵)。 有了到直角坐标系的变换,我们能够定义很多几何量,这些几何量都是从平直空间延伸过来的。比如给定向量A=Aμ,它的模长平方就是 给定两个向量A和B,那么它们的内积就是 如果你愿意,还可以定义它们的夹角θ为: θ=arccosgμνAμBν√gμνAμAν√gμνBμBν 同时,还可以算两个向量A和B张成的平行四边形的面积: 如果要算(超)体积分,那么体积元是 这里g是det(g)的简记,dΩ是∏αdxα的简记,注意我们有det(g)=det(hTh)=(det(h))2。√g实际上就是一个体积的缩放因子。有了这个结果,我们就可以写出:给定n个向量A1,A2,…,An,把它们写成列向量的形式,那么它们所张成的平行n维体的超体积是 √gdet(A1,A2,…,An) 这里(A1,A2,…,An)是指将这n个列向量排成一个n×n的矩阵。 转载到请包括本文地址:https:///archives/3969 更详细的转载事宜请参考:《科学空间FAQ》 如果您还有什么疑惑或建议,欢迎在下方评论区继续讨论。 如果您觉得本文还不错,欢迎分享/打赏本文。打赏并非要从中获得收益,而是希望知道科学空间获得了多少读者的真心关注。当然,如果你无视它,也不会影响你的阅读。再次表示欢迎和感谢! 如果您需要引用本文,请参考: 苏剑林. (Oct. 14, 2016). 《【理解黎曼几何】2. 从勾股定理到黎曼度量 》[Blog post]. Retrieved from https:///archives/3969
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