一元函数的微分

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同学们可能在高中阶段接触过导数的概念，并知道导数可以求函数的单调区间、函数的极值等，那么《微积分》里的微分是否和导数有关呢？微分作为《微积分》的核心内容之一，应该如何理解微分，微分有什么实际应用，微分的关键思想是什么呢？我们来解答这些问题。

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生活实例

• 直的剪刀可以修剪出球形的景观树

• 素描中画苹果的过程

• 直的剪刀可以剪出各种弧形的窗花

• 近似计算

  为了给一批铁球镀铜，增加铁球的美观性和耐用性，需要铜的重量可用如下方式计算：

其实这些都体现了微分的思想：「以直代曲，线性逼近」！

引例

若处的导数为，那么处的割线的斜率与切线斜率的差为：

那么

由于，则有

定义

设在的某邻域内有定义，令，若

其中是只与有关而与无关的常数，是当时比高阶的无穷小量，则称在处「可微」，并称为在处的微分，记为：或. 特别的，当时，称为的「线性主要部分」，简称线性主部. 那么怎么确定呢？我们有以下等价定理.

等价定理

函数在处可微的充要条件是在处可导，此时.

• 这个定理揭示了一元函数中可导和可微是等价的！

若在每点都可微，则称其在可微，并记为

特别的，若，则，故微分也记为

几何意义

当不断趋于0时，可见：

由此可见，我们可用若干条切线段去逼近弯曲的曲线：

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微分是「以直代曲，线性逼近」思想的体现，可见数学是用简单的方法(如：线性)解决复杂困难（如：非线性）的问题！注记：在多元函数中微分和导数不再等价！

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