杨博士专刊 | 隔震结构设计求真之三（复振型到底是个啥？）

上期文章《隔震结构设计求真之二》（别让隔震设计“被复杂”）中指出：隔震建筑就是好；隔震设计不要“被复杂”，放隔震垫就比不放好，有隔震沟就比没有好，消能器不一定都要放，柔性管线也不是必须的；隔震结构的简化设计方法，同精细化设计方法一样，均值得继续深入研究和推广应用。

本期文章我们讨论一下让人“晕头转向”的复振型分解反应谱法。

《建筑隔震设计标准》GB/T 51408-2021的4.3.2规定了隔震结构的复振型分解反应谱法，附录B给出了相关影响系数的计算公式，如下所示：

看着晕不？你搞懂公式中各种参数的含义了吗？隔震结构不就是在建筑下面加了一些隔震垫吗，分析方法为何要这么复杂？

PART.01 的由来

复振型分解反应谱法要用到虚数（复数），我们先用最通俗的语言回忆一下高中数学。要是因为时间久了记不清楚也没什么，我曾经因为几年不回老家，带着媳妇走了好几站地才找到家。

单位虚数i的平方是-1，这是不是很像数学家们吃饱了撑的游戏，其实复数很有用。虚数由卡当提出，经笛卡尔、达朗贝尔、棣莫弗、欧拉、高斯等人发展，才逐渐被数学家接受。莱布尼茨对虚数的理解让人印象深刻：“虚数是神灵遁迹的精微而奇异的隐避所，它大概是存在和虚妄两界中的两栖物”。

虚数不虚，它与实数并无本质区别，都是人类创造出来的数学工具，用来精确丈量和理解现实世界。从卡当首次提出虚数的过程就可以看出虚数的意义：

已知，求？

通过一元二次方程求根公式可知，当时，没有实数解，但若写出形式，就可以看出上述问题存在虚数解。用大白话说就是：

引入虚数后，数学边界将被拓展，并可籍此解决更广泛的科学问题。

PART.02 复振型是个啥

目前阶段，振型分解反应谱法仍是建筑结构地震作用响应求解的主流方法。应用该方法，必须首先求解结构线弹性系统的特征值，得到结构的振型与频率。但应用该方法是有前提的，只有当振型对结构质量、刚度和阻尼正交时，才能将结构的多自由度联立动力学方程组求解问题转变为多个不耦联单自由度体系响应求解与振型叠加问题。所以结构阻尼通常采用经典阻尼（例如，Rayleigh阻尼假定为结构刚度与质量的线性叠加，因此具有振型正交性）。但是，当建筑结构考虑土-结相互作用、钢-混凝土混合结构或者存在消能减震装置时，此时结构阻尼为非经典阻尼，不能再继续满足振型对阻尼的正交性条件。

那怎么办呢？此时若强行简化结构阻尼为经典阻尼，一般认为计算结果是不能令人满意的（到底有多不令人满意我也不知道，感兴趣可以自己试试，看看学者们是不是在鸡蛋里挑骨头）。力学大牛闭目养神了一会，翻了翻落满灰尘的数学手册，突然眼前一亮，还有灵界的复数可用的呢。

通常用位移描述的结构动力学方程是酱婶的：

 

如果把位移和速度进行一下组合，就可以得到状态变量，它同样可以表达结构的任意运动（这个想法很有创造性，也不知道是谁先提出来的）：

上述结构动力学方程就可以变换为下面形式：

式中：，

这个状态方程与通常的结构动力学方程是完全等价的，只是做了一下数学变换而已。为什么要做这样的变换呢？因为求解上述状态方程（一阶微分方程）的特征值问题，所得到的“振型”对和具有正交性，当然“振型”和“频率”都是复数形式的（注意看，里面有负数）。复数就复数吧，从数学角度看问题，复数域与实数域的求解并无本质区别，这样就可以进一步进行复振型叠加得到结构响应了！这做法是不是挺牛的？复数是不是很有用？

PART.03如果卡当没来过，我们该怎么办？

力学大牛是怎样想到用这么奇妙的“状态方程”来解决难题的呢？估计是卡当托的梦。还是瞻仰一下伟大的卡当吧，三次方程的求根公式（卡当公式）也是他首次提出的：

 

假设卡当没出生过，或者复数概念没被笛卡尔、达朗贝尔、棣莫弗、欧拉、高斯等人发展为一项数学利器，那可怎么办？隔震结构就没办法分析和设计了吗？或者问个更朴素的专业问题：不就是把结构放在了隔震垫上，隔震结构的分析方法一定要这么复杂吗？

其实确实还有其他的路可以走，而且可能更好走一些。因为我们是一直沿着振型分解反应谱法这条道路穷追猛打过来的，遇山开路、遇水架桥的结果是发展出了复振型分解反应谱法。如果放弃线弹性假定和振型叠加思路，直接采用非线性动力分析结果进行隔震结构的分析与设计，可以做的更好！这一点我们下期文章继续讨论。

PART.04总结

一句话总结：

复振型分解反应谱法可解决隔震结构阻尼矩阵正交性问题，但该方法同样以线弹性假定的振型叠加为基础，具有近似性。

END