向量在三角形中的重要结论—重心

重心是三角形三条中线的交点，设G是三角形ABC的所在平面内的一点，则G是三角形ABC重心的充要条件是：

GA+GB+GC=0或3PG=PA+PB+PC,(均为向量，向量符号在头条里打不出来)

简单推导过程如下图所示，推导过程不严谨，只是为了便于理解记忆。下图中的推导过程都是可逆的，且适用于任何三角形。用到的知识有向量的平行四边形法则，线段定比分点公式。

初中知识回顾：在三角形ABC中，AD、BE、CF分别是BC、AC、AB边上的中线。

设BE、CF交于点G，BG、CG中点为M、N。

因为E、F分别是AC、BC的中点，

所以EF平行且等于MN。

因此，四边形MNEF为平行四边形。

于是，得GM=MB=GE，GF=GN=NC。

所以，BG：GE=2:1，CG：GF=2:1.

同理，若BE与AD交于点G`，

则必有AG`：G `D=2:1,BG`：G `E=2:1,所以G`与G点重合。