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如图1，已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm。点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动，同时点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，它们的速度均为2cm/s。以AQ、PQ为边作平行四边形AQPD，连接DQ，交AB于点E。设运动的时间为t（单位：s）（0≤t≤4）。解答下列问题： （1）当t为何值时，AP=AQ； （2）如图2，当t为何值时，平行四边形AQPD为菱形； （3）是否存在某一时刻t，使四边形PQCB的面积S最小？若存在，请求出t的值及最小面积S：若不存在，请说明理由。 题意分析 ①、本题给出的已知条件不多，就是有两个动点在直角三角形的两边上做匀速运动，而且该直角三角形的三边长度是已知的，两个动点的移动速度也是已知的； ②、点A、Q、P、D四点构成的四边形是平行四边形，无论Q、P在规定条件下如何运动，这四点构成的四边形一直是平行四边形，这个条件很重要； ③、小球运动的时间t是有限制的，即0≤t≤4，这个是限制条件，解题的时候需要特别注意。 解题思路分析 下面我们一个一个分析本题的问题： ①、要使AP=AQ，因为AP=AB-BP，而BP=AQ，而Rt△ABC的三边斜边长度是可以根据已知条件得出来的，所以AP=BP=AQ=2t=½AB=5，即2t=5。 ②、“平行四边形AQPD为菱形，”，根据菱形的性质，有AQ=PQ=PD=AD，AP⊥DQ，不管是边相等，还是垂直关系，本质都是锐角三角函数和勾股定理的体现，所以把菱形的性质用含t的等式表示出来，就可求出符合条件的t的值； ③、“四边形PQCB的面积S最小”，而四边形的面积是没有公式的，我们又发现，四边形PQCB的面积等于三角形ABC的面积减去三角形AQP的面积，而且本小题是求t值的，因此我们把上面三个多边形的面积关系，使用含t的关系式表示出来，并且把这个关系式变换成二次函数或一次函数的形式，就可以求出t的值。 有同学会不会在这里有疑惑：为什么要变成一次函数或者二次函数的形式呢？ 能有这个疑问的同学，要表扬一下，我们做数学题就是要有追根问底的精神呀！ 为什么要这样呢？这是因为，在初中数学中，二次函数和一次函数是能求最值的，不是有最大值，就是有最小值。 同学们，大家明白了吗？要是还有疑问的话，可以加我微信讨论，我知无不言，言无不尽。 感谢您看到这里呀，温馨提醒您一下，本公众号“自学成长研习社”，是一个助力提高自学能力的存在，首先关注的是如何用最短的时间好数学，其次关注如何成为一个更好的人，欢迎大家关注本公众号，一起成长! |
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