 2000多年前，古希腊哲学家毕达哥拉斯預言，我们的世界建立在数学之上。很多人把这个预言当成笑话，宇宙是一个实体，看得见摸得着，但是数学不一样，数学是个抽象概念，宇宙怎么可能是数学建立起来的呢？ 2022年1月24日，证明这个理论的论文出现了。中国科技大学潘建伟教授和他的团队首次用实验证实，描述量子力学必须要使用复数，这是一个非常了不起的科学成就。这说明复数与实体世界有着对应关系。  为什么数学能破解宇宙的奥秘，其背后究竟有着怎样的深意呢？数学的历史，需要我们从头开始讲起。 时光倒流至公元前6世纪，希腊的爱琴海上，一群人正在狂欢。派对达到高潮时，一个名叫希帕索斯的人被杀害，被扔进海里淹死。而凶手们竟然是一群毕达哥拉斯学派的数学家，是古希腊的高级知识分子。这些人为什么要杀人呢？  因为他们要保守一个惊天的秘密。这个秘密源自于一个简单的问题：画一个边长为1的正方形，连接对角线，得到的线段长度是多少？今天的初中生们都能立刻解出，这个长度是√2。  但在古希腊时期，根号还未被发现，他们费尽心思也计算不出这条线的准确长度。最接近的一个长度值是707除以500，约为1.414。虽然这个值接近√2，但并不精确，打破了古希腊人认为世界与数学应该一一对应的信念。  2只羊，5把弓，7个贝壳，这些数字都很简单，每个人都能理解。但当无理数出现时，世界的基本逻辑似乎被打破了。这让毕达哥拉斯学派感到惊慌失措，他们开始怀疑世界的真实性。为了保守这个秘密，他们甚至不惜杀害那些发现无理数的人，就像杀害了希帕索斯一样，这成为了历史上非常有名的数学危机。  数学的一个特性就是，一旦某个定理或公式被发现，很快就会被其他人发现，而无理数也不例外。实际上，无理数并不难找，可以说随处可见。比如正五边形的边与对角线的比为（√5-1）÷2，这里就涉及到了√5，还有其他无理数如√3和π等。随着越来越多的无理数被发现，整数的大厦开始轰然倒塌。  除不尽意味着什么呢？似乎意味着我们这个世界并不那么完美，它存在着不确定性。事实上我们的世界很有可能就是不确定的。科学家观测，组成世界的微观结构，本身就是一种概率。 现在，让我们来探索微观世界。虽然没有人真正见过原子结构，但下面这张图片展现的铂纳米粒子结构已经令人震撼了。铂就是我们通常所说的白金，这个球上的每个小点都代表一个单独的铂原子。目前，这个球状区域大约有27000个铂原子。尽管原子看起来像小球，但实际上它并不是小球。我们是否还能更近距离地观察原子的结构呢？  科学家利用最先进的MRI技术，也就是核磁共振仪，拍摄了单个原子的图像。这个图展现了原子自旋状态的变化，揭示了原子的真实面貌。那么，我们是否还能再更贴近原子吗？现代科学还无法实现。我们只能通过三维动画来模拟原子内部的结构。  电子以超高速度绕着原子核旋转，由于原子太小而电子运动的速度又太快，所以电子似乎一会儿出现在这里，一会儿出现在那里，形成了电子云。电子是无法精确描述的，通常使用概率波来表示。理论上，电子可以出现在任何地方，就像电子可以穿过墙壁一样。这种现象被称为量子隧穿效应。这说明不确定性是量子世界的常态。  时间来到1425年，意大利佛罗伦萨著名建筑师布鲁内莱斯基，画了一幅奇怪的画，以前从来没有人见过这样的画。画中的空间似乎全部指向了一个点，离这个点越近，离观察者就越远，同时受到的压缩程度也越大。如果这个点足够远，一切物体、人、建筑甚至山脉和海洋都可以被压缩进这个0维的点中，这个点不仅是零，还是无限的。现在，这个点在绘画书中被称为灭点。  在布鲁内莱斯基画出灭点之前，所有的画作都是平面的，缺乏空间透视的关系。比如这幅十字军东征的画就很有趣，画中骑马的十字军领袖和城堡几乎一样大，而城堡上的弓箭手则被描绘得像个小矮人，这些都是扁平的、失真的二维影像。 关于灭点的故事还有一个有趣的发现。德国主教尼古拉斯库萨观测夜空很久，最终得出结论，地球不是宇宙的中心。他之所以得出这个惊人的结论，是因为他在宇宙中看不到任何灭点。布鲁内莱斯基的画让欧洲数学家意识到不能再忽视0和无限。 200年后，一位全世界初中生的敌人出现了。法国哲学家笛卡尔，他的哲学思想是“我思故我在”，而他更为人所知的是发明了平面直角坐标系，也就是初中生们熟悉的解析几何。据说，笛卡尔曾思考过，X轴和Y轴是否能从1开始呢？他马上就发现那是不可能的，如果-1和1之间没有0，那么整个坐标系就不存在了。 1927年，比利时的天体物理学教授勒梅特提出了宇宙大爆炸理论。主流的物理学界认为，距今约138亿年前，宇宙是由一次巨大的爆炸产生的。宇宙从无到有，最初是一个0点，随后宇宙经历了短暂的暴涨期，直到宇宙常数趋近于0，空间开始正常膨胀。按照这个理论，宇宙看起来似乎有一个起点，但没有一个结局。 这样来看平面直角坐标系，它可以被看作是一个二维的数学宇宙，具有一个起点0，并向四周扩散，形成了一个无限的空间。 数学再一次展现了它的语言能力，科学家们在宇宙中发现了更多的0与无限。例如，人类拍摄的第一张黑洞影像，位于M87星系中心的超大质量黑洞。黑洞是一个非常神秘的地方，越趋近黑洞，时空曲率越大，因为黑洞的体积为0，所以曲率将会趋向于无穷，光也无法从黑洞中逃离出来。据意大利科学家预测，宇宙中可能有数亿颗黑洞，甚至我们的银河系也可能有上亿颗黑洞。这些黑洞，就是0和无限的结合点。 数学与宇宙似乎有着剪不断的联系。无理数好像预言了世界的不确定性，0与无限似乎在讲述宇宙的开端与结束。但是这些还不是最神秘的，真正令人烧脑的部分才刚刚开始——虚数的出现。 时间来到在16世纪上半叶，数学家塔塔利亚用他的数学技巧独自解开了一元三次方程，这在当时绝对是无价之宝。塔塔利亚靠着参加数学比赛和解题挣了不少奖金，因此他将解题方法视为绝密，不会轻易外泄。 然而，米兰的医生兼数学家的卡尔达诺对解题方法趋之若鹜，他极力请求塔塔利亚披露解法。最终在他糖衣炮弹的攻势下，塔塔利亚透露了解析式，但他要求卡尔达诺永远不会将此告诉任何人。 虽然卡尔达诺获得了解析式，但塔塔利亚并没有给出证明，卡尔达诺用了好几年的时间，终于独立推导出完整的证明步骤。然而，他还是违背了诺言，将一元三次方程的求解方法出版成书，并在书中提到了这个方法的发现者塔塔利亚，但这仍然违背了他的承诺。 卡尔达诺在解一元三次方程时，有时会得到一些奇怪的解。当时他认为这种表达没有意义， √-121如负数怎么能开方呢？但是这种奇怪的数却总是出现在方程的解中，就像幽灵一样。 前面提到的大数学家笛卡尔把这个数起名为虚数，虚数表示为a+bi，其中ab为实数，i=√-1。 1799年，德国数学家高斯提出了一个震惊数学界的概念——复平面。他假定实数与虚数可以一一对应于平面直角坐标系上的点，这样就构建出了一个新的坐标系，即复平面。虽然与平面直角坐标系类似，但复平面却蕴含更深刻的思想内涵。 人类对复平面的探索还远未结束，我们远未掌握其真正含义。举个例子，假设一架飞机的航向为3+4i，如果让它逆时针旋转45°，那么新的航向是多少呢？ 在复平面中，45°表示为1+i。只需要将3+4i与1+i相乘，就能得出-1+7i，这就是飞机的新航向。飞机不仅会在平面上转向，还会改变高度，这又引入了新的维度，这些都需要使用虚数来计算。 事实上，每乘一次虚数单位i，就相当于在复平面上旋转90°。1*i来到了i0点。I*i来到了0-1点，在乘i来到了-i和0点。在乘i回到了01点。我们一直乘i，这个点就会在数轴上连续旋转起来，从如果从X轴方向向下移动，就会得到一个螺旋。而这个螺旋在虚部上就是正弦波。 我们的世界很有可能是由波组成的。比如音乐和流体，量子力学中的波动力学也是如此。虚数最初是为了解决三次方程的问题而出现，但它却可以用来描述我们的世界。这让人们不禁思考，虚数到底是一个高度抽象的概念，还是真实存在于我们的世界中，就像无理数和无限一样？ 开头我们讲过的中科大的潘建伟教授进行的实验，它必须用虚数。虚数不虚说明虚数在我们的世界中是真实存在的。这也让我们不由自主地思考，数学究竟是什么？ 为什么数学总能引领我们不断探索宇宙的本质？虽然这个问题现在仍然没有答案，但我们可以给出一种可能的答案：数学或许是宇宙的思维工具。如果宇宙有智慧，数学可能是帮助人类不断探索宇宙思维规律、揭示宇宙真相的工具。 我们在初中就学习过牛顿的万有引力公式，万有引力公式是：F=G*(m1*m2)/r^2，其中F为引力大小，G为万有引力常数，m1和m2为两个物体的质量，r为它们之间的距离。假设距离不在实数轴上，而是虚数r，从公式可以看出引力并没有变化，这符合我们对引力的观测：引力是可以穿透所有维度的力。 但虚数却引导我们进入一个虚拟的维度空间。我们不知道这个空间是什么样子，只知道它可以用数学上的√-1来表示。√-1这个空间是思维空间、反物质世界，甚至可能是平行宇宙。 |
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