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1+1=2 可能是数学方程式的最基本形式。在整个人类智力范围内，它是如此的基础、广为人知和易于理解，以至于我们形容某件事比较容易时便会用1+1=2来形容。但如果有人问，为什么 1+1=2，你会怎么回答？ 我们中的大多数人都会被这样的问题惊呆，因为我们将等式视为事实（事实确实如此），但我们从未真正尝试找出其背后的原因，或者事实是如何成立的。但是，有一些勇敢的人和聪明的头脑试图准确地回答这个问题，并提出了长达 379 页的证明来证明为什么 1+1=2。 但在深入探讨之前，我们有必要深入了解一下数学的历史及其最基本的原理。 在公元前 4 世纪，数学仅由两部分组成——几何（形状的研究）和算术（数字的研究）。与他同时代的著名数学家和哲学家欧几里得表示，数学是宇宙的语言，因此研究数学就像研究宇宙本身。他将数学（尤其是几何学）传播为普遍真理，因为它是可观察的和合乎逻辑的。 该假设的示例包括“两条平行线永远不会相交”、“三角形所有内角的总和始终为 180°”和“正方形的所有边长相等”等陈述。  欧几里得相信这些陈述永远不会是假的，因为那将意味着他们生活的现实（或宇宙）是错误的，或者至少有漏洞（这是一个荒谬的假设，因为像大多数宗教一样，希腊人相信他们的上帝使宇宙在其逻辑上是完美的）。 根据这个假设，欧几里得给出了几何学（和整个数学）可以基于的某些假设。根据他的说法，这些是“真实”的陈述，并且恰当地达到了它们的目的。 那是数学比较简单，只有几何和算术的年代。随着时间的推移，出现了新的数学领域，即使它们基于原始的几何和算术系统，它们的逻辑联系也很脆弱。 随着假想数等新概念和无穷大等概念的出现，数学的结构变得不稳定。毫无疑问，面对欧几里德几何的最大话语是引入了直观命名的部分——“非欧几里得几何”。接下来的想法很简单。它的工作原理基本上是通过无视欧几里德的第五假设进行试验，该假设指出：
除此之外，如果存在一条线和一个不在该线表面上的点，则只能通过该点绘制一条与第一条线平行的线。 数学家们尝试排除这个原则，我们最终得到了大量假设的（和一些实际的）形状，它们不遵循欧几里得的假设，但在逻辑上仍然是一致的，并且没有任何漏洞。这本身就足以摧毁传统数学。 数学需要联系在一起，但那个时代让人绝望。然后是这个传奇的主要人物：伯特兰·罗素和阿尔弗雷德·诺斯·怀特海。怀特海当时是一位知名的剑桥学者，罗素虽然年轻得多，但已经通过出版从数学到德国社会民主等主题的书籍引起了人们的注意。 他们肩负起为数学建立一个合适的、坚不可摧的结构的责任，这个结构不会有任何可能引起怀疑和在结构中造成断裂的漏洞。罗素认为，数学中要回答的最重要的问题在于最基础的知识，而不是复杂的问题。 如果可以通过明确的解释来稳定基础，那么整个数学就可以变得万无一失。只有这样，数学世界才能变得完整，一个乌托邦就存在了。为此，罗素和怀特海都认为，他们需要在基础上建立的是“逻辑”支持的陈述，而不仅仅是观察。 观察可能经常是错误的，但逻辑并不依赖于这种真实假设。如果逻辑是具体的，它就成为证据。从非欧几何中，我们已经确定数学不需要以现实为基础，因此观察远不及逻辑。罗素和怀特海进一步推广了一个后来被称为“形式主义”的系统，其中所有数学都遵循由通用符号、逻辑公理和推理规则组成的“形式语言”。 深入研究罗素和怀特海提出的推理远远超出了本文的能力范围，但我们可以谈谈他们的意图和有趣的琐事。他们打算为数学创造一个万无一失的基础，然后提供在他们的逻辑上如此合理以至于无法挑战的推理规则……这样，他们打算为数学创造一个万无一失的结构。 现在我们可以理解为什么他们花了 379 页来证明 1+1=2。因为他们不仅要从逻辑上证明数学，还要赋予“1”、“2”等数字以及“+”、“=”等符号以意义。 罗素和怀特海 最初假设他们将在一年内完成该项目，但这与现实相去甚远。事实上，他们花了大约十年的时间才完成算术部分（也许这也不是他们喜欢的）。据悉，为了提高效率，罗素和他的妻子在研究过程中不得不搬进怀特海的家中。 然而，在这段磨难中，罗素与怀特海年轻的妻子亲近起来，给双方家庭都带来了麻烦。在这种情况下，怀特海推动了论文的早日发表。但即便如此，这些论文也很难发表，因为所有出版社都拒绝了他们，因为他们的作品对普通读者来说太难理解了。 数学家 Steven Wolfram 后来写道，他想知道这篇论文是否打算供人类阅读，并且罗素在论文发表多年后评论说，他假设总共只有 6 人阅读了整篇论文。后来论文发表了，但是怀特海和罗素不得不自己出钱。经过所有这些麻烦之后，它终于在 1910 年以《数学原理》的名义出版了。 论文发表后不久，一位名叫库尔特·哥德尔的年轻数学家证明，没有任何形式的数学系统是一致的和没有矛盾的，尤其是他们的《数学原理》，但这是另一个故事了。即便如此，《数学原理》仍然是一部数学史诗，其影响力至今无人能敌。 |
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