搞什么一题多解？

有很多人会问，搞什么一题多解，做出来不就行了吗？

其实不然，因为很多时候没有那么容易想出那么来。

最近做了一道题目，如下图所示：

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已知，Rt△ABC，∠BAC=90°，AD⊥BC，CE平分∠ACB，且CE与AD交于点H，HF∥BC。求证：DE⊥DF。

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虽然这个图形很熟悉，但是一开始并没有想到之前遇到的问题是什么。也想不到什么特别的解法。遇到证明DE⊥DF，想到的就是∠ADE=∠CDF，但是这个不好证明。

所以考虑构造相似。过点E作AD或BD的垂线，然后通过证明一组三垂直相似得到想要的结论。

想了很久，还是想不出来。

然后就想这个题目既然出了，结论肯定是成立的。那么上面的两个三角形肯定就是相似的。

那怎么办呢？

于是想到硬算。设AB、AC、BC的边长分别为a，b，c，接着把所有的线段长全部用a，b，c表示出来，结果确实相似，结论就出来了。

事后想到，其实AE与AH是相等的，这个与之前的另外一个模型的类似的。

如上图等腰直角三角形的一个底角平分线，过另一个角的顶点作它的垂线，这时候可以得到绿色的线段是黄色的2倍。

于是考虑用类似的辅助线构造方法。

过点A作CE的垂线交BC于点M，连接EM，易得四边形AEMH为菱形，那么就可以得到AH=EM，进而根据比例可以得到△DEG∽△DHF，得到结论。

其实，看了参考答案之后，原来不用这么麻烦，辅助线都不需要做。

直接利用两边成比例且夹角相等，即可得到△ADE∽△CDF，结论就自然出来了。

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自己常对学生说，题目是永远做不完的。不是题目做的越多越好。当然，有时间的情况下，多做几道题，熟练一下还是不错的。

更多时候还是需要深度思考。从一道题目找不同的突破口，同时从多道题目中总结相通的地方。学会融会贯通，这样一道可以顶十道百道。

下次遇到了新的题目，能够从中挖掘出一些之前所了解过的知识或方法，那么就容易找到突破口了。

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