换个角度，认识反比例函数中的k

我们知道反比例函数很多性质都和k有关，比如反比例函数所在的象限，反比例函数的弯曲程度等等，其实反比例函数的k还和图形的面积有关联，那就是k的几何意义。

一、k的本源

结论一：

如图所示，点A为反比例函数上任意一点，过点A作AM⊥x轴于点M，AN⊥y轴于点N，则矩形OMAN的面积为｜ｋ｜．

二、简单变形

结论二：

上面两幅图中的三角形的面积其实都可以用刚才的知识求出，结果应该都是图一中矩形面积的一半，也就是。

结论三：

 

 

如果直线AO与双曲线的另一交点为B，我们还可以得出另外两个变式图形（如上图所示），由于点A和点B关于原点中心对称（也可以用代数方法算出），所以黄色的平行四边形的面积为２|k|，红色的三角形面积为|k|。

三、典型例题

１.

如图，点A、B是双曲线上的点，分别过A、B两点向x轴、y轴作垂线段，若S阴影＝1，则S1+S2＝　   　．

       

２．

如图，点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，且AB∥x轴，点C、D在x轴上，若四边形ABCD为矩形，则它的面积为　   　．

３.

如图，在平面直角坐标系中，点A是x轴上任意一点，BC∥x轴，分别交的图象于B，C两点，若△ABC的面积是3，则k的值为 　   　．

４．

如图，直线l⊥x轴于点P，且与反比例函数的图象分别交于点A，B，连接OA，OB，已知△OAB的面积为3，则k1﹣k2＝　   　．

四、变式结论

结论四：

如图所示，过原点的直线OA、OB分别交反比例函数在第一象限内的图像于点A、B，过点A作AM⊥x轴于点A，过点B作BN⊥x轴于点B，则△ABC的面积与梯形ABNM的面积相等。

这个结论的好处就是可以将一个不规则的△AOB的面积转化成一个规则的梯形AMBN的面积。

例题：

如图，矩形OABC的顶点A、C的坐标分别是（4，0）和（0，2），反比例函数的图象过对角线的交点P并且与AB，BC分别交于D，E两点，连接OD，OE，DE，则△ODE的面积为　　　　．

分析：

根据刚才得到的结论，此题中所要求的△ODE的面积就等于梯形的面积，所以我们只需要构造出梯形来求解就行了。

函数是一种特殊的代数问题，它跟几何的联系非常紧密，反比例函数的K的几何意义就是这个特点的体现，当然反比例函数还有很多特别的性质，这需要我们拥有发现的眼睛，去认真找寻，认真思考，形成自己独特的思维模式。

END