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【高阶金融衍生品专题】一文理解Swaption
动态对冲(DynamicHedging)是衍生品做市商广泛用于对冲Gamma或Vega风险的一种技术。因为它涉及标的物价格的移动（通常每天几次上下价格摆动）来调整并对冲标的物的市场风险，所以这种对冲操作本身是“动态的（dynamic)”。本文讨论了需要动态套期保值的需求及其这种策略本身的执行方式。这篇文章确定了动态套期保值和期权定价理论之间的重要联系。还提供了一种关于期权（作为波动性赌注工具）的复杂思考方式，这种方式在衍生品做市商本身中很常见，但对于大多数零售客户而言他们并不熟悉这种风险管理方式。这篇内容也绝不仅仅只是关于动态套期保值的简单机制。
绝大部分用来做金融投机交易的工具或头寸通常可以分为两种类型：线性和非线性的金融工具。
前者包括现货头寸，远期头寸和期货。这些金融工具的收益或市场价值是其下标者的线性函数或几乎线性函数。非线性工具（non-linear instruments) 包括普通期权，外来衍生产品和具有嵌入式期权的债券。
图表1用两个例子说明。
图表1：说明了长期价值和长期看涨期权的市场价值与某些底层资产价值的关系。期货工具本身是线性的金融工具而期权本身是非线性的金融工具。。
衍生产品做市商和其客户进行线性和非线性交易.他们倾向于使用非线性工具进行交易，因为这些非线性金融工具对客户而言更难定价，这意味着他们可以从这些交易中获得更大的利润。
线性工具与非线性工具的交易还有另一个区别：做市商的客户倾向于以大约相同的频率去做多或做空线性的金融工具。例如，一家石油公司可能希望将其石油向前出售以锁定价格。同时，发电厂的运营商可能想购买远期石油合约，也要锁定价格。这样的交易头寸是相互抵消的，因此处理这两项交易的衍生品交易商可以抵消它们并保持线性头寸的平衡。
期权或其他非线性工具并非如此。金融衍生品交易商的客户通常希望购买看涨期权，买入看跌期权，购买上限或购买某些奇异衍生品（EXOTICS)。客户很少打电话给衍生品交易商并要求出售期权。卖给多个客户后，交易商留有大量的空头期权头寸。为了对冲这些头寸，他们想购买抵消性多头期权，但是没有人可以购买这些期权。从其他衍生品交易商那里购买它们几乎没有道理，而其他衍生品交易商则拥有自己的大型空头期权头寸。解决方案是动态对冲空头期权头寸。
动态对冲是使用诸如现货头寸（spot)，期货或远期合约之类的线性工具对非线性头寸进行DELTA字母上的对冲。非线性位置和线性对冲位置偏移的增量，总体得出零增量。但是，随着标的物价格本身的上下波动，非线性风险敞口的差值会发生变化，而线性对冲的值不会发生变化。Delta本身风险敞口难以被抵消，因此必须对线性对冲进行持续调整（增加或减少）以恢复delta本身的对冲。为保持delta希腊字母本身的风险是被对冲的，而对具有线性风险敞口的头寸进行的持续的动态调整称为动态对冲。
考虑如下的例子，一家衍生品做市商向客户出售STU Corp.股票的看跌期权。以当前100美元的股价计算，空头期权头寸的delta为22,000股。
这在图表2中显而易见，该图表说明了空头期权头寸的市场价值与相关股票价格的关系。切线已拟合到该图，并且其正斜率表示正增量。
图表2：一家衍生品交易商出售STU股票的看跌期权。上面指出了它的市场价值，它是基础股票价格的函数。当前的股票价格（由三角形表示）为100。已在该值处将切线拟合到图形。其正斜率表示该位置具有正delta。
为了对冲这个期权策略的一条腿（卖出认沽期权），交易商出售了22,000股STU股票。卖空期权和卖空股票的delta被抵消，直到零。图表3显示了作为股票价格函数的对冲头寸的市场价值。与该图拟合的切线的斜率为零，表示delta为零。
图表3：做市商通过通过卖空股票来对冲卖空期权以对冲delta敞口。被套期头寸的市场价值（空头卖空加空头股票）显示为基础股票价格的函数。水平切线表示对冲头寸敞口的delta为零。
当标的股票价格为100美元时，该头寸会被套期保值，但这不会持续很长时间。股票价格很快升至103美元。如图表4所示，在该股票价格下，该头寸的delta为负值。它不再是Delta套期保值。
图表4：当标的股票价格上涨时，该头寸不再对冲需要持续对冲Delta。这由新股票价格上与图表拟合的切线可看到。它具有负斜率，表示其delta敞口为负值。
在新的股价下，衍生品做市商将动态对冲掉delta的风险敞口，并且回购了他之前做市商先前做空的一些基础股票。结果是在新股票价格为103美元的情况下建立了一个新的delta对冲头寸。请参见图表5。
图表5：交易商通过回购他之前做空的一些基础股票来调整Delta字母上的动态对冲。 现在，该头寸再次以新的标的物股价来做对冲。
该仓位的delta再次被对冲，但对冲后delta难以长期保持为零。不久，其标的物股票价格再次波动，对delta的动态对冲本身再次消失。做市商本身将重新调整其delta的动态敞口。此时表弟价格再次波动，经销商再次调整，依此类推。图表6中的多个过程循环说明了这种不断进行的市场活动，它将不断摆脱动态的delta对冲，而做市商不得不重新调整delta。
仓位再次被对冲，但时间不长。不久，相关股票价格再次波动，三角套期保值被取消。交易商重新调整三角套期保值。价格再次波动，经销商再次调整，依此类推。图表6中的多个过程循环说明了这种不断进行的市场活动，它摆脱了三角套期保值，而交易商重新调整了三角套期保值。
图表6：通过动态对冲，交易商针对底层合约中的每笔变动重新调整了对delta的动态对冲，即通过买卖股票来实现在每个新的基础股票价格的delta为零。该图例展示了该过程的三个迭代。
首先，投资组合因动态对冲而亏损，因为它具有负的GAMMA这是动态对冲无法改变的。负伽马如何产生是无关紧要的。它可以通过做空看跌期权，做空看涨期权或做空某些奇异衍生品来实现。投资组合具有负伽玛的事实意味着交易商将要动态地对冲它而亏损。如果投资组合的伽马值为正，则相反。经销商将通过动态对冲赚钱。每次标的资产价格运动时，投资组合都会赚取微薄利润。通过调整delta动态对冲，交易商将锁定这一微薄的利润……等等。
回顾一下，对冲负伽玛头寸的动态对冲会赔钱。对正伽玛头寸的动态对冲可以赚钱。为了理解这一点，请注意，当投资者本身开始出售期权时，伽玛头寸会下降。投资者可以卖出期权而获得溢价，但可以动态对冲负伽玛头寸而亏损。当投资者通过购买期权时，伽玛值会上升。投资者为期权支付期权费，但可以动态对冲其多头期权头寸。
如果投资者预期会因对冲空头期权头寸而动态对冲而损失的金额恰好是投资者最初出售期权所获得的期权费（累计值），这会不会很有趣？实际上，这不是一个新主意。当布莱克和斯科尔斯（Black and Scholes）发表他们著名的期权定价公式时，他们断言，期权的价格应为动态对冲至到期日的成本（其折现值）。有了这个新颖的想法，于是他们开创了期权定价理论领域。
布莱克和斯科尔斯（Black and Scholes）的分析认为，标的期权合约的波动性随时间是恒定的，但是如果不是这样，会发生什么呢？假设期权交易者正在动态对冲空头期权头寸。如果底层期权合约本身的波动性突然增加，交易者会感觉如何？
In fact, you would be concerned if the volatility increased. At a higher volatility, the underlier will fluctuate more, and you will need to adjust the delta hedge more frequently. You will lose money more rapidly dynamically hedging. The opposite would be true if the underlier’s volatility suddenly fell. You could readjust the delta hedge less frequently, and you would lose money more slowly dynamically hedging.
These concepts are illustrated in Exhibit 7. It shows the cash position of a derivatives dealer who sells an option and then dynamically hedges it until expiration. The dealer originally prices the option at 25% volatility, but the exhibit considers three volatility scenarios:
The underlier experiences 20% volatility.
The underlier experiences 25% volatility.
The underlier experiences 30% volatility.
实际上，交易者本身会担心波动性是否会增加。波动性较高时，标的期权合同波动更大，交易者需要更频繁地调整增量套期保值。频繁地进行动态对冲将使交易者更快地亏损。如果标的合同的波动性突然下降，情况将相反。交易者可以不太频繁地重新调整Delta动态对冲，而动态对冲则会更慢地赔钱。
这些概念在图表7中进行了说明。该图表显示了衍生品交易商的现金头寸，他们出售期权，然后对其进行动态套期直至到期。做市商最初将期权的波动率定为25％，但例图本身考虑了三种波动率情况：
1. 底层期权合同会经历20％的波动。
2. 标的期权合同的波动幅度为25％。
3. 底层期权合同会经历30％的波动。
At expiration, the dealer’s profit on the transaction is the (accumulated value of the) option premium received when selling the option less the total cost of dynamically hedging the short option to expiration. The Exhibit shows how, if the option is priced at 25% volatility but the underlier experiences 20% volatility during the life of the option, the dealer ends up with a profit. If the option is priced at 25% volatility and actual volatility also turns out to be 25%, the dealer breaks even. Finally, if the option is priced at 25% volatility but actual volatility turns out to be 30%, the dealer suffers a net loss on the transaction.
当期权到期时，交易者的交易利润是出售期权时获得的期权费的（累计值）减去动态对冲短期期权到到期日的总成本。展览展示了，如果期权定价为25％的波动率，但标的者在期权有效期内的波动率为20％，那么交易者最终会获利。如果该期权的价格波动率为25％，而实际波动率也为25％，则交易商收支平衡。最后，如果期权的价格波动率为25％，而实际波动率为30％，则交易商会遭受净亏损。
Exhibit 7: A dealer sells an option priced at 25% volatility and then dynamically hedges the position until expiration. This exhibit considers how the dealer’s cash balance evolves over time under three scenarios. Under all scenarios, we assume an initial cash balance of zero. When the option is sold, the dealer receives a premium, so the cash balance jumps. Next, the dealer dynamically hedges the short option, gradually losing cash as he does so. Under the first scenario, the underlier experiences 20% volatility. Dynamic hedging costs less than it would have had the underlier experienced the 25% volatility used to price the option. The dealer ends up with a profit. Under the second scenario, the underlier experiences 25% volatility. This is the volatility at which the option was priced, so the dealer breaks even on the transaction. Finally, under the third scenario, the underlier experiences 30% volatility. This is higher than anticipated, and the dealer ends up with a loss.
图表7：交易商出售价格波动率为25％的期权，然后动态对冲头寸直至到期。该展览考虑了在三种情况下经销商的现金余额如何随时间变化。在所有情况下，我们都假定初始现金余额为零。卖出期权时，交易商会收到期权费（保费），因此现金余额会增加。接下来，交易者动态对冲空头期权，并在这样做时逐渐损失手上的现金。在第一种情况下，底层期权合同会经历20％的波动。动态套期保值的成本要低于标的者经历了25％的波动性（用于为期权定价）时的成本。经销商最终获利。在第二种情况下，标的合同会经历25％的价格波动。这是期权定价的波动性，因此做市商在交易中收支平衡。最后，在第三种情况下，底层期权合约价格会经历30％的波动。这高于预期，而做市商最终蒙受了损失。
When a dealer is dynamically hedging a short options position, he doesn’t care whether the underlier goes up or down. Because he is always delta hedged, he is neither long nor short the underlier. He does care whether the underlier’s volatility goes up or down. In a very real sense, he is short volatility. This is the same thing as having negative vega (or “short vega”), so the phrases negative vega, short vega and short volatility all mean the same thing. A dealer dynamically hedging a long options position is in the opposite situation. He benefits if volatility increases, so he is long volatility. Synonyms would be long vega or positive vega.
当期权做市商不断做动态对冲做空空头期权头寸时，他们将不在乎标的本身价格是上升还是下降。因为标的物本身价格运动的因素（delta)都被动态对冲掉，所以他既不是空头也不是空头。他确实关心下者的波动性是上升还是下降。实际上，他的波动性很小。这与负Vega（或简称“短Vega”）相同，因此负Vega，短Vega和短波幅均表示同一件事。动态对冲长期权头寸的交易商处于相反的情况。如果波动率增加，他会受益，所以他就是长期波动率。同义词可以是长Vega或正Vega。
This is how derivatives dealers perceive options. Because they routinely dynamically hedge their options positions, they don’t think of options as bets on the direction of the underlier. They think of them as bets on the direction of volatility.
这就是衍生品交易商如何看待期权的方式。由于他们通常会动态对冲其期权头寸，因此他们不会将期权视为对下标者方向的押注。他们认为这是对波动方向的押注。
This has implications for gamma and theta as well. While contrived counterexamples are possible (see if you can think of one!) it is generally true that a negative vega position is also negative gamma. A derivatives dealer is typically in the position of having sold options, and he is dynamically hedging a position that is delta neutral, short gamma, short volatility and long theta.
这对γ和θ也有影响。尽管可能存在人为的反例，但通常，负的vega位置也是负的gamma。衍生品交易商通常处于卖出期权的位置，并且所有做市商都会尽可能地维持Delta中性，做空Gamma，做空波动率和做多Theta的头寸。
