【原】趣味探究：智断项链第二级（适合3-6年级）

【题记】

推理能力主要是指从一些事实和命题出发，依据规则推出其他命题或结论的能力。理解逻辑推理在形成数学概念、法则、定理和解决问题中的重要性，初步掌握推理的基本形式和规则；对于一些简单问题，能通过特殊结果推断一般结论；理解命题的结构与联系，探索并表述论证过程；感悟数学的严谨性，初步形成逻辑表达与交流的习惯。推理能力有助于逐步养成重论据、合乎逻辑的思维习惯，形成实事求是的科学态度与理性精神。——《义务教育数学课程标准》（2022年版）之“课程目标”

【游戏目的】

通过本游戏能够帮助学生巩固所学知识，激发学生数学学习的兴趣，引导学生动手操作和观察实践，让学生学会举一反三，提高学生解决实际问题的能力，培养学生思维的严密性和开放性，增强学生数学学习的信心，拓展学生数学学习的视野。

【基本玩法】

之前，我们试玩过“智断项链”，可点击下面的链接跳转阅读：

智断项链第一级（适合3-6年级）

小罗旅游中，想在旅馆租用一个房间，租期一周，房费是每天200元。可是她忘记带钱了，想用一根项链来先抵付现钱，等有了钱再把项链赎回，旅馆也同意了。小罗的这根项链共7节，每节的价值在200元以上。

小罗还有一个想法，不想把把这条项链一次性全部给旅馆，想请珠宝匠把项链割断，每天旅馆一节，等到周末我有了现钱，再把项链赎回。

于是，他们一起在想：可以把一段段项链换进换出，以这种方式来付房费。这样就能在不必断成一节一节的情况下，也能保证每天能把一节项链付给旅馆。

现在问题的关键是：需要割开多少节，才能满足上面的条件呢?

【指点迷津】

因为第一天一定要付出去环节，所以第一次肯定是从第一节把它断开。

接着想，第二天会2节，不断开也不行，所以第二次就把剩下的6节再断开2节，剩下的还有4节，这样就成了。   

       

这样，我们就可以完成每天的付款了。我们来验证一下：

第一天：直接付出一个环；

第二天：把两个环的付出，旅馆返回一个环；

第三天：把返回的那个环付出旅馆；

第四天：把四个环的付出，对方返回一个环、两个环两节；

第五天：付出剩下的一个环；

第六天；付出剩下的两个环，对方返回一个环；

第七天：把剩下的一个环付出即可。

通过上面的验证，我们可以知道：

至少需要断成1节，2节，4节这样三段，这样才能以各种不同的组合方式组成1节，2节，3节，4节，5节，6节和7节。

【变化玩法】

上面的项链由7个环组成，如果项链是其他的环数，也是每天会一个环，又需要怎样断开才行呢。

比如是8、9、10、……，及至15个环，又分别该如何断开，才能保证每天都能顺利付出呢？

【参考答案】

以下列举的从1到15的所有拆分情况如下:

1=1，无需断开；

2=1+1，断成1节；

3=1+2，断成2节，分别是1、2个环；

4=1+1+2，断成3节，分别是1、1、2个环；

5=1+1+3，断成3节，分别是1、1、3个环；

6=1+2+3，断成3节，分别是1、1、3个环；

7=1+2+4，断成3节，分别是1、1、3个环；

8=1+1+2+4，断成3节，分别是1、2、4个环；

9=1+1+2+5，断成4节，分别是1、1、2、5个环；

10=1+1+3+5，断成4节，分别是1、1、3、5个环；

11=1+1+3+6，断成4节，分别是1、1、3、6个环；

12=1+2+3+6，断成4节，分别是1、2、3、6个环；

13=1+2+3+7，断成4节，分别是1、2、3、7个环；

14=1+2+4+7，断成4节，分别是1、2、4、7个环；

15=1+2+4+8，断成4节，分别是1、2、4、8个环；

【资料链接】

上面的”巧断项链“问题其实是跟二进制有关系的（二进制的知识如果不了解，可能另外去查资料，这里不再赘述）。

比如项链有63个环，只要将63化成二进制表示，等于“111111”即63=1+2+4+8+16+32，只要项链开始处分别数出1、2、4、8、16、32个环，分别断开，就有了从1，2，3，4，5，6，……，直到63的所有节数。

注意：上述的63是正好可以写成没有“0”的二进制数，这与上面的参考答案中列举的“3”、“7”和“15”一样。断成的环数除了第一个“1”之外，其他的数都是2的倍数，由它们写成的二进制数数值中也全部是由“1”组成的。

但如果不是像“63”这样的二进制数（11111，数值的每一位都是1），就不能这样分了。

比如“79”个数，写成二进制数时是“1001111”。即79=1+2+4+8+0+0+64，因为二进制数数值中有“0”，所以从1到15都能表示，可是从16到63都没法表示了。上面的参考答案中列举中，除了“1”、“3”、“7”和“15”之外，其他的数，如写成的二进制数，数值中均有“0”出现，说明不能分别要变化了，环数也不正好是2的倍数了。

弄清楚上面的情况后，我们来研究“79”的项链分割。

其实，可以按下面的步骤进行：

79+1=80，80÷2=40，所以最大的一节就是40节；

79-40=39，39+1=40，40÷2=20，所以第二大的一节就是20节；

39-20=19，19+1=20，20÷2=10，第三大的一节是10节；

19-10=9，9+1=10，10÷2=5，又找到了一节是5；

9-5=4，4的表示法如上，已经列出4=1+1+2。

所以，79节的金项链的分割法：1，1，2，5，10，20，40，断成7节即可。

再举个简单的例子。

比如是“23”节金项链，也能够很容易地解决：

23+1=24，24÷2=12；23-12=11，11=1+1+3+6。所以23的分割法为：1，1，3，6，12。

显然，上面说到了两种情形；

一种正好是“2^k-1”节的项链，如63那样去分割，我们姑且称之“完美法”；

一种不正好是“2^k-1”节的项链，如上面的23、79那样去分割，我们姑且称之“递归法”。

因为这是小学的最后阶段，涉及到的知识有点难度了，请同学们耐心、细致的学习与理解。

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