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它可能是有史以来最荒谬的方程式之一：  按照常规数学理解，它有一些明显的问题：
那么它怎么可能有意义呢？然而事实证明，这个方程在物理学中实际上非常有用。以下是它在物理学中的意义。 ··· 真空能当计算某种真空能量（即弦理论）时，就会发挥它的作用。在量子物理学中，能量来自各种场（即电磁场或物质场）的振动。由于真空能量与这些模式的频率成正比，我们最终得到这样的方程  然而，由于物理学是一门科学学科，它处理的是可测量的事物。如果我们承认我们正在计算的真空能量是一个可测量的量，并且由于我们无法测量无穷大，那么答案就不可能是无穷大。于是就有了矛盾，因为求和明显发散了！所以这里是有问题的…… ··· 理解∞为了继续进行下去，我们必须承认这个等式遗漏了一些东西。 为什么？一种可能性是我们的模型尚未完成。因此，虽然我们的模型可以计算结果，但这些结果的有效性可能有限。 这类似于计算器能够将小数相乘的方式，但是当我们插入非常大的数字时，结果会变成无意义的溢出。 因此，为了理解无限结果，我们需要量化我们的无知，此步骤称为正则化。 ··· 驯服∞所以我们需要参数化我们在公式中的错误。但是这种参数化需要在物理上有意义：
在等式方面，我们引入了一个正则化项R ( n , N )，它代表了我们对物理学的无知。此正则化器应介于 1 和 0 之间，当n较大时逐渐减小。N还控制无知/正则化的数量。然后我们可以用以下形式重写我们的总和：  这有点抽象，所以让我们看一个全新一代的例子 即指数正则化:  调节exp(− n / N ) 起作用是因为当N很大时，它不会对项产生太大影响，直到我们达到非常大的n。此外，这种正则化的美妙之处在于可以精确计算总和！  现在我们可以看到将N发送到 ∞ 时的行为。如果我们忽略无限的N ² 项，我们得到 −1/12。所以当我们说 1 + 2 + 3 … = −1/12 时，我们真正的意思是除了 ∞ 之外相等。 但这感觉就像在作弊。我们怎么能忽略无穷大呢？在我们的步骤中似乎有很多歧义。当我们修改我们的公式时，我们如何保证我们得到相同的结果？ ··· 唯一性幸运的是，物理学允许我们证明忽略无穷大：因为答案是可观察的，所以它必须是有限的！由于我们的理论不完整和数学能力不足，无穷大一定已经出现了。由于物理学的目标是模拟自然，我们可以在我们的理论中直接添加一个 −∞ 并接受这个过程作为我们模拟世界的方式的一部分。 数学方面呢？事实证明，我们实际上可以保证答案是唯一的，只要我们满足我们对正则化的物理驱动要求。 如果所有这些理论依据仍然显得可疑，那么物理学有一张解决争论的终极王牌：实验。可以测量由我们计算出的真空能量引起的吸引力，这里有一个示例实验论文，而且结论显示它有效！ ··· 结语总之，我们看到为了理解无限的事物，我们需要接受我们的无知并纠正我们的答案。对我们来说幸运的是，有一种一致且明智的方法来纠正错误并获得有限的答案。 或许大自然正在为我们提供一些人生教训：只要我们保持谦逊和脚踏实地，总有办法让不可能的、荒谬的事情变得明智。 ··· 附录: 许多草率的文章可能会把无限和与黎曼 zeta 函数 ζ( s ) 的定义相提并论，定义为  并简单地代入 1 + 2 + 3 + … = ζ(−1) = −1/12。虽然这得到了正确答案，但它会造成更多混乱，因为上述定义仅在s > 1（或s > 1 的实部）时才有效。更严格的计算需要复杂的分析。例如，这可以通过应用Abel 公式来完成  所以求和转化为积分，正则化成为积分的上限。这种复杂的技巧给出了与指数正则化版本类似的答案，并且有限项可以与 ζ(2) 相关，后者通过zeta 反射恒等式与 ζ(−1) 相关。 ··· |
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