数学天地里的三山五岳

转自好玩的数学

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Oberwolfach归来，愿我们仍是少年

高等研究院是学者的天堂。和诗人、音乐家一样，学者们也应顺应自己的想法，才能竭尽所能，成就辉煌。 

——亚伯拉罕 · 弗莱克斯纳 , 1939, 《论无用知识的有用性》

题引 几年前，笔者之一有幸访问南开大学陈省身数学研究所。其间张伟平院士 曾开玩笑说 ：“也许你可以写一篇《数学江湖之我见》？”这题目当然不能写 了。酷爱金庸武侠的陈省身先生对江湖有个理解：“江湖就是谁也不能得罪。”¹可是如果坚持“谁也不能得罪”，就很难写出江湖本色 ：有人的地方就有江湖， 有江湖就有是非恩怨。不过，有个更简单的题目可以写，就是“有人的地方”。《笑傲江湖》里并 非只有刀光剑影的打打杀杀。金庸对五岳、梅庄、绿竹巷等名胜幽处的描写也 令人如临其境、心旷神怡。同样的，你会发现，在数学天地中，吸引我们数学 爱好者的，不只有形形色色的数学家，更令人心向往之的，是遍及五湖四海的 数学研究所。这里我们只重点介绍美国、法国、德国、巴西、英国和中国的十个数学研 究所，此即标题所指的“三山五岳”。

普林斯顿高等研究院数学部

普林斯顿高等研究院（简称 IAS）成立于 1930 年，首任院长是美国教育 家弗莱克斯纳（Abraham Flexner）。他将院址选择在新泽西州的普林斯顿，是 因为他觉得这里的乡村环境有利于纯正的学术活动，而且普林斯顿大学拥有一 个完善的用于研究的图书馆。他决定最初将研究院的活动集中于数学领域，有 三个原因 ：（1）数学是基础性的 ；（2）在设备或图书上需要的投资最少 ；（3）他越来越感到，跟其他学科的人相比，与数学界的职员更能达成一致。弗莱克斯纳聘请的第一批数学教授是 ：维布伦（Oswald Veblen）、韦德 尔（James Waddell Alexander II）、莫尔斯（Marston Morse）、爱因斯坦、冯 · 诺依曼和外尔。后三位原先都在欧洲，希特勒的上台以及欧洲学术圈教授职 位的稀缺等原因促成他们接受普林斯顿高等研究院的聘请。毫无疑问，爱因 斯坦是其中名气最大的，但抵普林斯顿高等研究院以后，未有新的成就。冯 · 诺依曼一生有五分之三的工作是在高等研究院完成，在那里他主持设计并建 造了第一台电子计算机。而外尔作为 希尔伯特的继承人，引领了 20 世纪 上半叶的数学发展。后来，为纪念两 位，专门设立了 IBM 冯 · 诺依曼讲 座教授与外尔讲座教授。按照高等研究院 2020 年去世的 资深教授戴森在爱因斯坦公众讲座 ² “飞鸟与青蛙”中的划分，外尔与冯 · 诺依曼恰好代表了两种不同类型的数 学家 ：外尔属于飞鸟，而冯 · 诺依曼 属于青蛙。高等研究院与普林斯顿大学合 办 的 期 刊《 数 学 年 刊 》（Annals of Mathematics）是数学界的顶级刊物 之一。

之所以首先要提到高等研究院，除了其首屈一指的江湖地位以外，还有一 个原因，即陈省身先生与它有极深的渊源。陈省身一生共创办三个数学所（稍 后再谈），我想他对办研究所情有独钟与他在高等研究院的经历密切相关。应维布伦的邀请，陈省身于 1943 年访问普林斯顿高等研究院。如他所说， 这是他“一生的大决定”。抵达普林斯顿以后，陈省身立即做出了第一流的工作， 给出了高斯 - 博内公式的内蕴证明（论文不足 6 页，发表于《数学年刊》）。两 年之内，又开创了陈示性类的划时代工作。在高等研究院，陈省身从与外尔的 交谈中受益良多。外尔不仅影响了陈省身，还影响了后来的访问学者华罗庚（1946-1948）。不论是陈还是华，都只是高等研究院的访问学者，而非教授。第一个在那里做 永久教授的华人是物理学家杨振宁，他在那里工作了 17 年（1949-1966），自 1955 年起就是教授。杨振宁之后，李政道（1960-1962）、丘成桐（1980-1984） 也先后在高等研究院担任教授。杨振宁甚至被奥本海默建议接替其高等研究院 院长一职，不过被他谢绝了³ 。2005 年，高等研究院创立 75 周年之际⁴ ，特别 表彰了杨振宁 1954 年（与米尔斯）开创的杨 - 米尔斯理论。

普林斯顿高等研究院以学者自由独立、追求其研究和兴趣为宗旨。曾经三 度长期访问高等研究院的数学家博特（Raoul Bott）曾说 ：“我的人生因为高等 研究院而焕然一新。毫无疑问，倘若我不曾有非凡机会加入到如此一个可以让 你一心一意发挥想象力的地方，我的整个人生将完全不同。

犹记我们的一位研究生老师曾说，他一生最大的愿望，就是有一天能访问 普林斯顿高等研究院。这也是大多数对数学有追求的人的愿望。顺便提一句，1997 年成立的清华大学高等研究院，就是以普林斯顿高等 研究院为模板，而 2017 年当选为中科院院士的密码学家王小云⁵就是该院的 杨振宁讲座教授。在越南，一个类似的数学研究所从 2011 年开始运作，首任 所长是吴宝珠，他是越南历史上的首位菲尔兹奖得主（2010 年）。

柯朗数学中心

在某种意义上说，希特勒是美国的大恩人——甚至有人提议说，美国要给 他树立一座丰碑。前面提到，普林斯顿高等研究院数学部的六位元老中有一半 来自欧洲。跟外尔一样，纽约大学的柯朗研究所的创始人柯朗也是德国人，并 且是克莱因（F. Klein）的传人。1933 年，柯朗是哥廷根数学所（这是克莱因 的梦想，成立于 1929 年）的所长，受到纳粹迫害。1934 年，他勉强接受了纽 约大学的一个职位——当时纽约大学还算不上好学校。柯朗数学所成立于 1937 年，他也是第一任所长，直到 1958 年（70 岁时） 退休。他与罗宾斯（H. Robbins）合 写的《数学是什么》是一本脍炙人口 的数学普及名著。

之 后 的 所 长 依 次 是：斯 托 克（James J. Stoker）、 弗 雷 德 利 西 斯（Kurt O. Friedrichs）、 莫 泽 尔 （Jürgen Moser）、 尼 伦 伯 格（Louis Nirenberg）、拉克斯（Peter D. Lax）、 瓦拉德汉（S. R. Srinivasa Varadhan）、 莫 拉 维 茨（Cathleen S. Morawetz）、 麦 金 恩（Henry P. McKean）、 麦 克 劳 林（David W. McLaughlin）、 纽 曼（Charles M. Newman）、 格 林 加 德（Leslie Greengard）、 阿 鲁 斯 （Gerard Ben Arous）和卡夫利施（Russ Caflisch），其中尼伦伯格、拉克斯和瓦拉德汉是阿贝尔奖得主。此外，格罗莫夫（Mikhail Gromov）也是柯朗数学 所（亦兼职于法国高等科学研究所）的阿贝尔奖得主。由传统所致，柯朗数学所注重数学的应用，创有一份高质量的期刊（始于 1948 年）Communications on Pure and Applied Mathematics（简称 CPAM）。柯朗数学所非常注重研究生的培养（这是建所初衷之一，另一目标是基础 研究），与美国数学会联合出版了一套高质量的柯朗讲义。此外，位于台湾的中央研究院数学所⁶与柯朗数学所颇有渊源。他们的前 所长刘太平教授曾在纽约大学工作，因此经常能邀请到柯朗所的一些专家访问。台湾中央研究院数学所的《数学传播》曾推出一些来自柯朗所的数学家访谈。关于柯朗本人，C. Reid 为他写了一本很好的传记《柯朗——一位数学家的双 城记》（Courant in Göttingen and New York）。

伯克利数学研究所

1981 年，美国国家科学基金会接受加州大学伯克利分校陈省身、Calvin C. Moore 和 I. M. Singer 的提议，在伯克利建立了数学科学研究所（简称 MSRI），这是美国第一个国家数学所。陈省身任首任所长（1981-1984）。之 后的历任所长分别是 ：卡普兰斯基（Irving Kaplansky, 1984-1992）、瑟斯顿 （William Thurston, 1992-1997）、 艾 森 巴 德（David Eisenbud，1997-2007）、 布莱恩特（Robert Bryant, 2007-2013）、艾森巴德（2013-2022）。不同于高等研究院与柯朗研究所，伯克利数学研究所没有永久教授，只设 访问学者。冠名的职位有 ：陈省身讲座教授、西蒙斯讲座教授、艾森巴德讲座 教授。西蒙斯是陈省身的学生与合作者，以陈 - 西蒙斯理论著称。伯克利数学研究所没有自己的期刊，但有系列丛书 Mathematical Sciences Research Institute Publications。作为微分几何学的领袖，陈省身对加州大学伯克利分校数学系功勋卓著。陈省身在此执教近 20 年（1960-1979），指导了 31 名博士，其中包括菲尔兹奖 得主丘成桐。在卡尔文 · 摩尔（Calvin C. Moore）关于伯克利数学发展的历史 著作中，陈省身是封面六大人物之一。值得一提的是，伯克利分校数学系设有 陈省身讲座，一个有名的演讲是希策布鲁赫（Friedrich Hirzebruch）的“我为 什么喜欢陈类 ?”

说起陈类，杨振宁曾经写过一首诗《赞陈氏级》肯定其重要地位 ：天衣岂无缝，匠心剪接成。浑然归一体，广邃妙绝伦。造化爱几何，四力纤维能。千古寸心事，欧高黎嘉陈。伯克利数学研究所在加州大学伯克利分校后面的山上，与洛伦兹伯克利实 验室（简称 LBL）比邻，环境优美。曾在伯克利数学研究所访问的李克正老师 告诉笔者：“记得我当年和伊吕西（Luc Illusie）在办公室聊天时，窗下有几只鹿。” 伯克利数学研究所还参与中小学数学教育，组织有面向教育者的 Critical Issues in Mathematics Education 年度会议、数学圈（math circles）、朱莉娅 · 罗宾逊数学节、全国数学圈联盟（NAMC）及其网站、奥林匹克数学竞赛 ；它 也通过其 MSRI-UP 项目参与本科生教育 ；通过其关于公共事件的“访谈”系 列参与大众教育 ，例如艾森巴德、哥德斯顿（Daniel Goldston）和桑德拉让 （Kannan Soundararajan）分别对张益唐的访谈。

西蒙斯几何物理中心

据说当年柯朗选择纽约大学，有一个原因是那里机会多多。用弗莱克斯纳 的话来说 ：“纽约是个卧虎藏龙之地。”柯朗的确在纽约大学有所成就。坐落于纽约市郊风景区长岛的石溪大学自 1957 年建校以来，在数学物理 方面也颇有成就。很大程度上，这要归功于两个人。一个是来自高等研究院的 杨振宁，一个是来自伯克利的西蒙斯。杨振宁 1966 年来石溪担任杨振宁理论 物理研究所所长（爱因斯坦讲座教授），西蒙斯于 1968 年（29 岁）来石溪担 任数学系主任。通过与西蒙斯讨论，杨振宁认识到规范场作为纤维丛上之联络 的几何意义，从而引出著名的“吴 - 杨字典”，成就了 20 世纪几何与物理交叉 互动的新气象。当杨振宁与吴大峻完成这一工作之后，认识到规范场与纤维丛 之间的精巧联系之后，曾专门驾车到伯克利拜访陈省身，分享他们的惊人发现。杨振宁何曾想到，规范场所需要的数学，正是他的老师（陈省身）30 多年前 在普林斯顿高等研究院所做的基本工作！陈省身则评论道 ：跟物理学一样，数 学中的重要概念不是凭空想象的，而是非常自然的。

1974 年，西蒙斯与陈省身合作开创了陈 - 西蒙斯理论，1976 年获得维布伦奖。之后西蒙斯下海经商，发了大财，并以夫妇名义创立了西蒙斯基金（致力于科研、 教育与医疗），回馈数学与物理学界，设立各种讲座教授（包括前面提到的陈省身 讲座教授，由他与陈省身的子女共同捐助）、募捐给各个研究所（包括伯克利数学 研究所，清华大学高等研究院，后者招待访问学者的住所陈赛蒙斯楼即以陈省身 和西蒙斯命名）、资助各种数学物理传媒（如经常被我们译成中文的《量子杂志》）。西蒙斯还创立了一个致力于促进公立学校数学教学的 Math for America 基金。

2007 年，西蒙斯还在石溪资助创立了西蒙斯几何物理中心，其首任所长是 数学家摩根（John W. Morgan），现任所长是物理学家阿尔瓦雷斯 - 高梅（Luis Álvarez-Gaumé），他的成就之一是，用超对称给出了阿蒂亚-辛格定理的一个证明。毫无疑问，数学界对像西蒙斯这样的慈善家充满感激。作为普通人，也许 最让你感兴趣的并非怎么做好数学，而是怎么像西蒙斯那样发达。那么下面这 本新书能够给你一些指引（看来西蒙斯是用了一般人可能不懂的数学——谁说 学数学发不来财？）

法国高等科学研究所

法国高等科学研究所（Institut des Hautes Études Scientifiques，简称 IHES） 成立于 1958 年，其首任所长是莫查纳（Léon Motchane）。他从普林斯顿高等研 究院得到启发，在巴黎南郊创立高等科学研究所。该所致力于数学、物理的研 究以及两者之间的互动。自成立 60 多年来，高等科学研究所取得了丰硕的成果。

该所早期聘请的两位教授是法国数学家迪厄多内（Jean Dieudonné）与格 罗腾迪克。格罗腾迪克在此工作了 12 年（1958-1970），重塑了代数几何（他 被誉为代数几何的“教皇”），获得 1966 年的菲尔兹奖。美国资深数学写作家 艾琳 · 杰克逊（Allyn Jackson）为格罗腾迪克写了精彩的传记，有兴趣的读者 可见中国科学技术大学数学系欧阳毅教授的中译文《仿佛来自虚空——亚历山 大 · 格罗腾迪克的一生》⁷ 。

1970 年，高等科学研究所聘请了比利时数学家德利涅（Pierre Deligne）。德利涅沿着格罗腾迪克开辟的道路继续前进，取得了举世瞩目的成就，获得 1978 年的菲尔兹奖。1984 年以后他去了普林斯顿高等研究院。1979 年，法国数学家科纳（Alain Connes）受聘于此，直至 2017 年退休。科纳开创了非交换几何，获得 1982 年的菲尔兹奖。

1982 年，俄国数学家格罗莫夫（Mikhail Gromov）受聘于此，于 2015 年退休。前面已经提到，格罗莫夫是阿贝尔奖得主，也是沃尔夫奖和京都奖得主。顺便 提一句，最近高等教育出版社“数学概览”丛书出版了《Gromov 的数学世界》 上下册，有兴趣的读者可以了解。比利时数学家布尔甘（Jean Bourgain）于 1985 年加入法国高等科学研究所， 1995 年转到普林斯顿高等研究院，他是 1994 年的菲尔兹奖得主。俄国数学家 康采维奇（Maxim Kontsevich）于 1995 年入法国高等科学研究所，1998 年获 得菲尔兹奖。法国数学家拉福格（Laurent Lafforgue）于 2000 年入法国高等 科学研究所，2002 年获得菲尔兹奖。

以上提到的几位数学家中，除科纳和康采维奇的工作有数学物理背景外， 其他人都在做纯数学。就我个人来说，我很乐于介绍高等科学研究所的另一位 物理教授吕埃勒（David Ruelle）。吕埃勒是比利时人，于 1964 年加入高等科 学研究所，2000 年退休。吕埃勒在数学物理方面的工作为人称道。他写过两 本不错的科普书，《机遇与混沌》和《数学与人类思维》（我有幸主持后者的翻 译，最初我们就是从其个人主页中知道后者）。由于我们在本节列举了法国高等科学研究所的许多卓有成就的大数学家， 可能会给读者以这样的印象 ：法国高等科学研究所比普林斯顿高等研究院强。其实后者也有许多了不起的数学家，只是我们前文没有一一介绍而已，如哥 德尔、韦伊、惠特尼（Hassler Whitney）、塞尔伯格（Atle Selberg）、哈里希 - 钱德拉（Harish-Chandra）、博雷尔（Armand Borel）、米尔诺（John Willard Milnor）、邦别里（Enrico Bombieri）、朗兰兹（Robert P. Langlands）……， 等等。

德国波恩、莱比锡的马普所

二战之后，德国数学元气大伤，昔日辉煌，一落千丈。复兴德国数学的最 大功臣是我们前面提到的希策布鲁赫。希策布鲁赫曾在上世纪 50 年代初访问 美国普林斯顿高等研究院，得益匪浅。因此他回德国以后，一直想仿效这一模 式建立自己的数学研究所。好事多磨，这一宏愿直到 1980 年才实现。希策布鲁赫在波恩创立的数学研究所叫马克斯 · 普朗克数学所（Max Planck Institute for Mathematics），主要的研究 方向为基础数学，通常简称为波恩马 普所，这是隶属于马克斯 · 普朗克协 会（Max Planck Society）的两个数学 研究所之一，另一个研究纯粹和应用 数学的数学研究所在莱比锡（见下文）。截至目前，成立于 1948 年的协会共有 86 个研究机构，研究方向覆盖了自然 科学、生命科学、社会和人文科学。

波恩是音乐家贝多芬的故乡，因 此大街小巷随处可见贝多芬的雕像。而位于莱茵河畔的马普数学所，与贝 多芬故居比邻，旁边的广场上就有一 座贝多芬雕像。

希策布鲁赫是波恩马普数学所首任所长（1980-1995）。扎 吉 尔（Don Zagier）是第二任所长。生于 1987 年 12 月 11 日的舒尔茨（Peter Scholze）是 2018 年的菲尔兹奖得主，现任的学术所长。

截至目前，波恩马普所诞生过两位菲尔兹奖得主 ：法尔廷斯在 1986 年的 伯克利世界数学家大会上拿到了菲尔兹奖，时年 32 岁。谁曾想，一年以后出 生的舒尔茨在 2018 年的里约国际数学家大会上以 31 岁的年纪荣获菲尔兹奖 ⁸ ， 可以说是对法尔廷斯获奖的完美复制。2006 年，包括波恩马普数学所在内的六所单位共建，成立了以数学家豪 斯多夫（Felix Hausdorff）命名的豪斯多夫数学中心，主任为路克（Wolfgang Lück）。

前文已经提及，莱比锡还有个马普数学所。1989 年柏林墙倒塌之后，东 西德统一。为了帮助东德发展，马普协会决定从西德选调两个年轻有为的数学 家和莱比锡的塞德勒（Eberhard Zeidler）一起，在德国大数学家莱布尼茨的 故乡莱比锡建个数学所。该所成立于 1996 年，全名 Max Planck Institute for Mathematics in the Sciences，顾名思义，莱比锡马普所的建所宗旨是促进数学 与科学之间的对话，并将科学领域的现代科学进步融入数学。为了促进学者们更广泛地交流想法，波恩和莱比锡的马普所均提供非常少 的终身职位，但它们都提供广泛的学者访学项目（Guest Program）：前者向具 有博士学位的学者提供几周到几个月不等的访问机会 ；后者向没有独立经费的 学者（尤其是来自拉美、非洲、远东和中东地区）提供短期（1-6 个月）访问 津贴和长期（1-2 年）访问津贴。挪威数学家索福斯 · 李曾在莱比锡生活工作 十余年；为了纪念他，莱比锡马普数学所向领域内卓越的学者提供 1-2 年的“索 福斯 · 李客座教授”访问职位。关于莱比锡马普数学所的历史，可以参考首任所长约斯特（Jürgen Jost） 和斯特凡 · 穆勒（Stefan Müller）、塞德勒三位合写的文章 ⁹。

德国奥伯沃尔法赫数学研究所

德国一个更早的数学研究所是成立于 1944 年的奥伯沃尔法赫数学研究所， 因其位于黑森林谷地中的奥伯沃尔法赫（Oberwolfach）而得名，其创立者是 几何学家居思（Wilhelm Süss）。

复旦大学李骏院士在《陈省身告诉我们 ：阅读经典》一文中讲，每当陈省 身得知他是从奥伯沃尔法赫回来，就会跟他讲，奥伯沃尔法赫的财富在于其图 书馆，那里开放有大量的经典数学文献。奥伯沃尔法赫非常成功，以至于后来日本的京都大学数理解析研究所与法国 的国际数学中心（Centre International de Rencontres Mathématiques）都效法它。关 于奥伯沃尔法赫数学研究所的更多信息，可见欧阳顺湘老师在本刊的专门介绍¹⁰。

巴西基础数学与应用数学研究所

位于里约热内卢的国立基础数学与应用数学研究所（Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada，后文简称里约数学所）是巴西的第一所科研单位。自创立之初，里约数学所的定位就是鼓励科学研究、培养（包括博士后在内的） 年轻科研工作者、传播和改善巴西的数学文化。经过半个多世纪的发展，这座 始建于 1952 年（今年将迎来它的 70 周年）、最开始甚至连总部都没有的研究 所逐步成为拉美地区、乃至世界范围内最著名的研究中心之一 ：2014 年的国 际数学家大会上，里约数学所 2001 年毕业的博士生阿维拉（Artur Avila）喜 提菲尔兹奖章，这使其成为拉美地区第一个获此殊荣的数学家。2018 年，里 约数学所与巴西数学会（Sociedade Brasileira de Matemática）带领巴西杀入 世界数学联盟认证的精英五组 ¹¹。它 的 历 任 所 长 是 伽 马（Lélio Gama, 1952-1966）、 迪 亚 斯（Lindopho Dias, 1966-1969, 1971-1978, 1979-1989）、利马（Elon Lima, 1969-1971, 1978-1979, 1989- 1993）、帕里斯（Jacob Palis, 1993-2003）、卡马乔（César Camacho, 2003-2015）和 维亚纳（Marcelo Viana, 2015- ）。查阅里约数学所的发展简史不难看出，从建所之初只有两名数学科研工作 者，到 70 年代里约数学所开始有正式的全职研究员并且研究方向增加了代数 几何、概率统计、算子理论等，再到 90 年代的“完美高中教师计划”，以及新 世纪之初与巴西数学会合力承办面向青少年的数学奥林匹克竞赛等等 ；每一任 所长都在积极探索里约数学所更好的发展模式。历任所长里，特别值得一提的是帕里斯。他在国际数学联盟的执行董事 会任职的时间达到了史无前例的 24 年（1983-2006），这包括 8 年的秘书长和 4 年的联盟主席（1999-2002）。担任联盟主席期间，帕里斯尤其强调了数学 与其它学科的结合，向世界各地、尤其是发展中国家推广数学进展。他领导 国际数学联盟为挪威政界和科学界设立阿贝尔奖提供全力支持，他本人也是 2003/2004 年度阿贝尔奖委员会的成员之一。在担任国际理论物理中心的科学 委员会成员期间，他还促成了面向发展中国家的拉马努金奖的设立¹²。

“问渠那得清如许，为有源头活水来”。除优秀的行政领导外，里约数学所 的快速崛起无疑还跟频繁的学术活动、优秀科研工作者的到访有密切关系。在 这一点上，斯梅尔（Steve Smale）绝对可以称得上里约数学所、甚至是巴西 数学界的“活水”。1956 年完成博士论文后，斯梅尔前往芝加哥大学任教。出 于相近的研究方向，他与在这里做拓扑的利马（1958 年博士毕业，三次担任 里约数学所的所长）成为好朋友 ；在利马的引荐下，斯梅尔又结识了里约数学 所初创之时仅有的两位数学家纳赫宾（Leopoldo Nachbin）和佩肖托（Mauricio Peixoto）；佩肖托关于动力系统的工作吸引了斯梅尔，这也直接地促成了后者 对里约数学所进行了为期六个月的访问。正是在这段时间，斯梅尔做出了关于 马蹄变换的著名工作；在发表于《数学信使》的文章《在里约的海滩发现马蹄》¹³中，斯梅尔回顾了这段有趣的经历。中山大学的王则柯有一篇名为《传奇数 学家斯梅尔》的文章 ¹⁴，发表于《数学文化》。两任所长帕里斯和卡马乔，都 是在斯梅尔的指导下完成博士论文，分别毕业于 1968 年和 1971 年 ；在数学宗谱的网站可以查到，这两位所长的门生大约有 350 人。要知道，根据现任所长 维亚纳一篇发表于 2017 年、介绍巴西数学的文章，目前巴西每年获得数学博 士学位的人数大约是 180 人 ¹⁵。

2018 年 8 月，巴西各方通力合作，成功地举办了第 28 届国际数学家大会。本刊主编之一汤涛院士以 45 分钟报告人的身份参加了此次盛会，并将期间的 见闻写成《2018 年国际数学家大会花絮》，发表于本刊 ¹⁶。

英国牛顿数学所

保守和傲慢应是英国留给世界人民的刻板印象，这种认知同样在英国数学 的发展历程中有诸多体现¹⁷：牛顿和莱布尼茨就微积分的优先权之争，间接地 使得英国数学界、乃至科学界关闭了与欧洲大陆的联系，甚至可以称得上是世 界科学发展过程的一次重大损失 ；到了 19 世纪，法国、德国、甚至是后来者 的美国都开始将科研视作大学的首要任务之时，剑桥大学的关注点却依旧停留 在本科生教育。自 20 世纪 60 年代起，这种状况逐步有所改观。

经过四年的精心准备，伊萨克 · 牛顿数学科学研究所（Isaac Newton Institute for Mathematical Sciences）于 1992 年正式运行，它是隶属于剑桥 数学科学中心（Center for the Mathematical Sciences（Cambridge））的一个 分支机构，后者还包括三个院（系）和一所专门的图书馆。阿蒂亚爵士担任 牛顿数学所的首任所长。当时阿蒂亚同时还在三一学院和英国皇家学会任职， 因此在牛顿数学所的运行上能够付出的精力的确有限。此后，牛顿数学所的 历届所长（五年为一个任期）依次为莫法特（Keith Moffatt）、金曼（John Kingman）、华莱士（David Wallace）、托兰（John Toland）、亚伯拉罕（David Abrahams）。2021 年 10 月，牛顿数学所迎来它的第七任所长蒂尔曼（Ulrike Tillmann），她也是牛顿数学所的首位女性所长。建所不久，牛顿数学所就迎来了足以载入史册的高光时刻 ：1993 年 6 月， 怀尔斯爵士就是在这里通过三次演讲向世界宣布，他解决了费马大定理。尽管 当时的证明存在一些瑕疵，但此后，怀尔斯就和他的高足理查德 · 泰勒在 1995 年一起弥补了这个漏洞。至此，费马大定理才正式宣告解决。

与约翰 · 林奇等同事一道，著名科普作家西蒙 · 辛格为英国广播公司的地平线系列节目专门制作了名为“费马大定理”的纪录片，叙述了这段令人心神 激荡的往事，也带读者领略了人类智慧的结晶。此后，西蒙 · 辛格还出版了同 名图书¹⁸。此书一经出版，当年就成为了第一本在英国排名第一的数学类畅销书。除承办各种学术活动外，牛顿数学所还担任着向社会和大众进行数学科普 宣传的义务。为了响应国际数学联盟将 2000 年作为世界数学年的提议，它开 展了一个名为“伦敦地铁海报”的活动 ：将数学在物理、生物和金融等领域的 诸多应用通过海报的形式逐月展示在伦敦的地铁里。关于牛顿数学所涉及运行、活动主题的更多信息，可参考它的第二任所 长莫法特的回忆录《牛顿数学所第一个十年》以及 2012 年开展的牛顿数学所 二十周年年庆系列活动。今年将迎来它的 30 周年。在英国，牛津与剑桥一直分庭抗礼、相爱相杀。事实上，早在 1966 年， 牛津大学就成立了数学所，实现了哈代 30 多年前的构想¹⁹。

北京国际数学研究中心

与前文提及的众多历史悠久、成就斐然的数学所相较，坐落于未名湖 畔、成立于 2005 年的北京国际数学研究中心（Beijing International Center for Mathematical Research，以下简称北京数学中心）无疑是初生牛犊。

它的办所宗旨是 ：致力于数学科学前沿问题研究、培养新一代世界级数学家，为促进数学思想和成果交流提供平台。田刚院士是北京数学中心的首届主任。无论是从中心标识、地理位置，还是从人员构成上，都不难看出，这所由七栋 中式仿古建筑组成的现代化数学中心与北京大学数学学院有着极深的渊源。经过精心修缮²⁰的全斋——一座始建于上世纪 50 年代 ²¹、曾作为未名湖 北岸“德、才、均、备、体、健、全”七斋之一的四合院——成为北京数学中 心主体建筑，静候天下有志之士的到访。俗语有云 ：拳怕少壮。尽管成立的时间不长，但换个角度来看，年轻和活 力无疑是北京数学中心的优势。事实上也的确如此。在北京数学中心的教研人 员名单里，绝大部分都是年轻人，他们从事的也大都是数论、代数几何、表示 论的前沿方向。若要在它的教研人员名单里挑出几位进行介绍，当属被社会广 泛称之为北京大学“黄金一代”的 2000 级前后数学学院的一些学生。在他们之中， 1999 年入学的刘若川和许晨阳是最早入职北京数学中心的一批青年学者 ：刘若川的研究方向是代数数论和算术几何，尤其是 p- 进霍奇理论、p- 进 自守形式和 p- 进朗兰兹纲领。刘若川在 2019 年获得了首届科学探索奖，并在 2020 年获得了中国青年科技奖。许晨阳的研究方向是主题为双有理几何的代数几何。许晨阳在 2016 年获 得了由国际理论物理中心（International Center for Theoretical Physics）颁发 的拉马努金奖 ²²，2017 年未来科学大奖中的首届数学与计算机科学奖，以及 美国数学会颁发的 2021 年度的科尔代数学奖。巧合的是，同为北京大学数学 学院校友的张益唐在 2014 年获得了科尔数论奖²³。新近设立的这些大奖，无疑给优秀的青年数学工作者们提供了相对宽松的工 作环境。尽管单从获得某个或某些奖项说事的做法有些偏颇，但若翻阅历届拉马 努金奖、科尔代数学奖的获奖者名单，能够看到森重文、亚诺什（János Kollár）、 舒尔茨等闪闪发光的名字，更让我们对刘若川、许晨阳等人拥有无限期待。2018 年 9 月，许晨阳再次远渡重洋，去往麻省理工学院数学系任职。在那里， 他将与同为“黄金一代”的恽之玮和张伟相聚。此后不久，北京数学中心也迎 来了在外求学和工作多年的袁新意和肖梁。好一派江山代有才人出的欣欣景象！年轻的北京数学中心至少还有一个优势，那就是有诸多宝贵的办所经验可 以借鉴。如前所述，优质的数学中心一般还承办优秀的系列图书或高质量的期 刊杂志。自 2018 年起，北京数学中心还与北京大学数学学院一道承办了旨在 纯粹数学领域、名为 Peking Mathematical Journal 的期刊。

或许是出于年龄的关系，或许是受到国外环境的影响，北京数学中心的许 晨阳、田志宇等都将自己的科研心得贴在了个人主页上 ；同为中心成员的李文 威发表于《数学文化》的《数学写作漫谈》²⁴，则向我们展示了如何科学地进 行数学英文写作。北京数学中心还运作了一个名为 BICMR-PKU 的微信公众号， 不定期地推送一些学者访谈、数学科普和活动通知，感兴趣的读者可在中心官 网首页扫码关注。包括许晨阳获得首届数学与计算机科学未来大奖之时，组委 会也都组织安排了给青少年的寄语和青少年对话获奖者的活动。一句题外话， 中国科学技术大学数学学院的梁永祺在其个人主页上贴出了很多面向青年的建 议。所有这些，对有志于投身数学研究的青少年而言，都是极好的引导。“海阔凭鱼跃，天高任鸟飞”，祝福北京数学中心能够在未来创造更多的辉 煌，同样也祝福以北大“黄金一代”为代表的中国青年数学工作者们能够在未 来创造更多的辉煌。

结语

除前文提及的数学研究机构外，以数学家（抑或以科学家）名字命名的数 学研究所，犹如千山竞秀万壑争流，我们还可以列出一个长长的单子 ：爱尔兰的哈密尔顿数学研究所（Hamilton Mathematics Institute）；英 国 的 麦 克 斯 韦 数 学 研 究 所（Maxwell Institute for MathematicalSciences）、海尔布伦数学研究所（Heilbronn Institute for Mathematical Research）；匈牙利的约诺斯 · 波 尔 约 数 学 研 究 所（János Bolyai Mathematical Institute）、 阿 尔 弗 雷 德 · 瑞 利 数 学 研 究 所（Rényi Alfréd Matematikai Kutatóintézet）²⁵；法国的傅里叶研究所（Institute Fourier）、庞加莱数学所（ Institut Henri Poincaré）；俄罗斯圣彼得堡的欧拉国际数学研究所（Euler International Mathematical Institute）、 莫 斯 科 的 斯 捷 克 洛 夫 数 学 研 究 所（Steklov Mathematical Institute） 和 克 尔 德 什 应 用 数 学 研 究 所（Keldysh Institute of Applied Mathematics）；以色列的爱因斯坦数学研究所（Einstein Institute of Mathematics）；作为波兰科学院数学所一部分的斯蒂夫 · 巴拿赫中心（Banach Center）；印 度 的 拉 马 努 金 高 等 数 学 研 究 所（Ramanujan Institute for Advanced Study in Mathematics）、 哈 里 斯 · 钱 德 拉 研 究 所（Harish-Chandra Research Institute）、C. R. 劳数学、统计学、计算机科学高等研究所（C. R. Rao Advanced Institute of Mathematics, Statistics and Computer Science Computer Science）；奥地利的薛定谔数学物理国际研究所（Erwin Schrödinger International Institute for Mathematical Physics）；加 拿 大 的 菲 尔 兹 数 学 科 学 研 究 所（Fields Institute for Research in Mathematical Sciences）；意大利的弗朗西斯科 · 塞韦里国家高等数学学院（Istituto Nazionale di Alta Matematica Francesco Severi）；瑞典的米塔 - 列夫勒研究所（Institut Mittag-Leffler）…… 陈省身先生晚年曾多次倡议，要争取在国内办十几个世界一流的数学所。除前文提及的北京国际数学研究中心外，南开大学的数学研究所（1985 年）、 中科院晨兴数学中心（1996 年）、清华大学丘成桐数学科学中心（2009 年）、 复旦大学上海数学中心（2011 年）、中科院华罗庚数学科学中心（2017 年）先 后成立，标志着中国数学的发展迈上一个新的台阶。就目前来说，我们也许一时建不了像美国普林斯顿高等研究院数学部、柯 朗所、伯克利数学研究所这样高水平的数学研究所，但至少有一件简单的事情可以做，就是在各个中学和大学乃至公共图书馆建立比较齐全的数学阅览室。感谢邵逸夫先生，现在我们在几乎每个高校都可以看到逸夫楼（科学界也有邵 逸夫奖）。如果能再有一些慈善家捐建一批数学阅览室就完美了！目前我们所 了解的，只有上海明复图书馆的“美权算学图书室”，乃数学家周达（著名代 数几何学家周炜良之父）捐赠。而国内许多高校的数学系（更不用说中学了） 连资料室都没有。我想，一间数学图书阅览室应该不会很难——你看普林斯顿 高等研究院的数学物理图书阅览室不也很简单吗 ：

1988 年 1 月，在印度数学家拉玛努金诞辰百周年之际，普林斯顿高等研 究院的数学家塞尔伯格应邀在孟买做了纪念演讲《拉马努金百周年诞辰之际的 反思》，他在结尾提出的建议很有启发，值得关心中小学数学教育的仁人志士 考虑 ：还有一件事情我想也很重要，即中小学数学的状况如何。我曾经跟很多已 经成名的数学家谈论起他们在中小学所学的数学。他们中的大多数并未从中得 到特别的鼓舞，而是自学自己偶然碰到的、或者以某种方式得到的课外读物。我本人就是一例。我认为，对中小学数学的内容一定要重新斟酌，应该增加一 些涉及如何发现并且激动人心的内容。我发现，在中小学里，数学教学赶不上 其它科学的教学，后者通常能很好地完成教学任务并带给学生发现的兴奋之感。

我认为，要培养出未来的拉马努金们，除了中小学的教学之外，很重要的一件 事情是，公共图书馆应当藏有相当数量的数学书籍，以便鼓舞那些希望在学校 课程之外发现一些新东西的人，使他们产生兴趣。这是为了更容易地培养未来 的拉马努金们所能做的一件重要的事情。从笔者个人经历来说，我们对南开大学陈省身数学研究所的图书馆和母校 首都师范大学数学院图书阅览室有深厚的感情。对我们而言，它们无异于武侠 小说中的“藏经阁”。那里自有天地，让人心旷神怡。这种感觉，跟沉浸武侠没有分别。

后记

在本文即将发表之际，以线上会议的方式进行的第 29 届世界数学家大会 已经落下帷幕。在大会颁发的各项大奖中，菲尔兹奖无疑是最吸引眼球的一项。本届菲尔兹奖得主分别是供职于瑞士日内瓦大学和法国高等科学研究所的雨 果 · 迪米尼 - 科潘（Hugo Duminil-Copin）、普林斯顿大学数学系的许埈珥（June Huh）、牛津大学数学所的詹姆斯 · 梅纳德（James Maynard）和瑞士洛桑联邦 理工学院的马琳娜 · 维亚佐夫斯卡（Maryna Viazovski）。本文介绍了科潘任职的法国高等科学研究所和许埈珥 2014-2020 年工作过 的普林斯顿高等研究院，两位青年才俊为这两所著名的中心续写了新的篇章。至于梅纳德所供职的牛津大学数学所，则是此前我们所忽略了的。感谢国家自然科学基金数学天元基金（12126411）资助。感谢严加安院士、 汤涛院士、陈关荣教授、丁玖教授、黎景辉教授、李克正教授对初稿提出宝贵 建议和意见。感谢张友余教授提供史料。

参考文献

1 陈永川 , 怀念恩师 .

2 http://www./notices/200902/rtx090200212p.pdf

3 Abraham Pais: J. Robert Oppenheimer, A Life, Oxford University Press, 2006.

4https://www./press-releases/institute-advanced-study-celebrates-75th-anniversary-itsfounding-institute-marks

5 王涛 , 王小云访谈录 , 数学文化 , 2019/ 第十卷第二期 , 27-56.

6 它是陈省身主持的第一个研究所，原址在大陆 (1947 年成立于上海，次年迁址南京）， 后迁移到台湾。陈省身是首任代理所长 (1946-1948）。

7 http://staff.ustc.edu.cn/~yiouyang/ gro.pdf

8 菲尔兹奖的最年轻获奖记录目前由法国的塞尔（Jean-Pierre Serre）保持 (27 岁）。

9 http://www./notices/199610/comm-jost.pdf

10 欧阳顺湘 , 黑森林中的数学胜地 , 数学文化 , 2 (2011）, pp. 64-73.

11 彼时，联盟内的 72 个国家按照优秀程度被分成五组。除巴西外，第五组的成员国还包括：德国、加拿大、中国、美国、法国、以色列、意大利、日本、英国和俄国。巴西之前的分 组分别为：二组 (1978 年）、三组 (1981 年）、四组 (2005 年）。https:///en_US/noticias/brasil-e-promovido-a-elite-da-matematica-mundial/

12 http://w3./~jpalis/links/vitae/CV_2012.pdf

13 S. Smale, Finding a horseshoe on the beaches of Rio. The Mathematical Intelligencer 20, 39–44 (1998）.

14 2015 年 , 第六卷第一期 , 22-33.

15 https://www./publications/journals/notices/201703/rnoti-p234.pdf

16 2019 年 , 第十卷第一期 , 29-43.

17 https://www.maths./about/history/

18 有中译本 , 费马大定理——一个困惑了世间智者 358 年的谜 , 西蒙 · 辛格 ( 著）, 薛密 ( 译）, 广西师范大学出版社 , 2013 年 .

19 关于该所的介绍，有兴趣的读者，可访问其主页：https://www.maths./

20 根据北京大学的官方消息，尽管不是文物建筑，但全斋的修缮工作仍按照文物保护的标 准进行。

21 建成年代存疑，尽管官方的说法是 50 年代；但根据某些北大校友的回忆，全斋建成的 时间可能更早。

22 这个奖项是面向发展中国家的青年（年龄不超过 45 岁）数学工作者而设立。此外，位 于印度的山姆哈人文与科学技术研究院还设立一个名为“SASTRA 拉马努金奖”的奖项， 它的年龄限制是 32 岁（拉马努金去世的年龄）。请读者注意区分。

23 科尔代数学奖（Frank Nelson Cole Prize in Algebra）和科尔数论奖（Frank Nelson Cole Prize in Number Theory）是由美国数学会为了纪念科尔（Frank Nelson Cole）而设立的奖项， 分别设立于 1928 年和 1931 年。两个奖项交替颁发，目前均为每三年颁发一次。

24 2015 年 , 第六卷第四期 , 44 - 60.

25 这里诞生了 2012 年和 2021 年两位阿贝尔奖得主安德烈 · 塞迈雷迪（Endre Szemerédi） 和拉兹洛 · 洛瓦兹（László Lovász）。