傅立叶变换——从入土到入门

你还在因为傅立叶挂科而叫苦不迭吗？

傅立叶变换常被戏称为大学里的杀手课程，但它的优美却被许多人所赞叹。

物理学家开尔文勋爵也曾大方表达了他对这个优秀数学作品的永恒热爱：傅立叶定理不仅是现代分析中最美丽的结果之一，而且是处理现代物理学中几乎每一个深奥问题的不可或缺的工具。

在金融分析师的眼里，傅立叶变换是这样的：

傅立叶变换的应用一：时间序列分析

对于具有工科知识的读者而言，傅立叶分析的第一印象可能是这样的：

傅立叶变换的应用二：语音信号处理

而在数学家眼里，傅立叶变换则有着各种各样不同的“变身”

傅立叶变换的离散版——傅立叶级数

群的傅立叶变换——连接分析和数论的桥梁

高效的傅立叶变换算法——快速傅立叶变换（FFT）

傅立叶分析的进化版——调和分析 图为Littlewood-Paley理论

可见无论在书面理论还是在应用领域，傅立叶变换都是不可多得的瑰宝级工具。事实上，无论在信号处理、股票预测、微分方程，还是在数字模拟、数论乃至数据压缩，它都扮演着无可替代的角色。

接下来，就让我们从傅立叶变换的来源说起，看看创造这一史诗级公式的人物究竟是谁？

傅立叶是谁？

让·巴普蒂斯·约瑟夫·傅立叶(法语：Jean Baptiste Joseph Fourier,1768-3-21－1830-5-16），出生于法国，是一名浪漫的法国数学家，同时也是一名视角独特的数学家。

傅里叶

由于父母很早双亡，小时候他便在天主教本笃会接受教育。毕业后在军队中教授数学，在1795年他到巴黎高等师范教书，之后又在巴黎综合理工学院占一教席。1798年他跟随拿破仑东征，被任命为下埃及的总督。1801年，拿破仑的远征军队远征失败后，他便被任命为伊泽尔省长官。1811年，傅立叶向科学院提交二次修改过后的文章《热的传播》，该篇文章也为傅立叶获得了科学院大奖。

1816年他回到巴黎，六年后他当选了科学院的秘书，并发表了《热的分析理论》一文，此文建立是在牛顿的热传导理论的速率和温度差成正比的基础上。1830年5月16日他病逝于巴黎，1831年他的遗稿被整理出版成书。

傅立叶在论文中推导出著名的热传导方程 ，并提出了傅立叶变换的基本思想。也就因为这个基本思想，直接造福工程界、数学界。甚至在数学界、工程界有这么一句传说：有一种运算，把微积分变成加减乘除，它叫傅立叶变换。

那傅立叶变化到底是怎么解决问题的呢？

基本原理

x (t)项表示你想表示的复杂的信号。

E - jπ2ft 这个术语看起来有点复杂，但它实际上只是数学家们用来表示正弦曲线的速记法。

而巧妙之处在于则在于，将两者相乘，然后将它们包裹在一个积分中，使得方程能够挑选出表示信号所需要的三角函数的每一个频率分量。

等式的结果X (f) ，提供了所需要的每个简单信号的大小和时间延迟。

傅立叶变换是数字信号处理领域一种很重要的算法。要知道傅立叶变换算法的意义，首先要了解傅立叶原理的意义。

傅立叶原理表明：任何连续测量的时序或信号，都可以表示为不同频率的正弦波信号的无限叠加。而根据该原理创立的傅立叶变换算法利用直接测量到的原始信号，以累加方式来计算该信号中不同正弦波信号的频率、振幅和相位。

姑且换个说法：其实，当我们去买菜的时候，各种蔬菜都不一样，但都能转换成“n个1斤砝码+m个1两砝码”的组合。

计算一下子便简单许多了：积分，微分，成了最简易的计算——加减乘除。

因此，傅立叶变换在数学里面，这本身就是一种解微分方程的方法。

从现代数学的眼光来看，傅立叶变换是一种特殊的积分变换。它能将满足一定条件的某个函数表示成正弦基函数的线性组合或者积分。在不同的研究领域，傅立叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅立叶变换和离散傅立叶变换。

在数学领域，尽管最初傅立叶分析是作为热过程的解析分析的工具，但是其思想方法仍然具有典型的还原论和分析主义的特征。'任意'的函数通过一定的分解，都能够表示为正弦函数的线性组合的形式，而正弦函数在物理上是被充分研究而相对简单的函数类。

傅立叶变化的应用

1、音频处理

设想你在互联网上传送音频文件，你可以像音乐公司最初录制歌曲那样，把整首歌放进去，但是这样需要很大的存储空间: 每一个频率都被记录下来，通过混合后，到最后的音轨上。

而如果用傅立叶变换，只需要一小段音轨，你会发现有些频率成分居于主导地位，而其他成分则几乎没有记录。

MP3文件格式正是基于这个原理运行的——为了节省空间，它把几乎察觉不到的频率部分舍弃掉了。只保留确定重要的频率成分，丢弃那些不重要的部分，以(相当准确地)表现原始的音轨。

无独有偶，音乐识别软件Shazam 也使用了同样的转换方式——它有一个数据库，里面有与你播放的歌曲相匹配的独特频率内容。现在流行的降噪耳机，也是一定程度上运用了这个原理。

2、像素处理

刚刚只谈到了像声音这样的时间信号，傅立叶公式同样适用于空间问题。

对于 Forueir 来说，它意味着将简单的二维热流加在一起来表示更复杂的热流。

同样的道理，傅立叶变换图像处理软件也可以比逐像素处理软件更有效地构建数字图像，减损图像文件中分别定义着每个像素的颜色。当你将其中一张保存为 JPG 格式时，整个图像就会被分割成更小的块，然后就可以得到这个块的2 d 形式傅立叶变换。

对于我们大多数人来说，我们的眼睛无论如何也不能真正发现颜色上的细微差别，所以忽略提供像素到像素变化的频率成分几乎无法显示。但如果你进行更大程度的压缩，随着各个子块之间的颜色变化变得越来越明显，图像就会开始显得模糊。

换句话说，傅立叶变换让数字图像和音乐变得实用，让我们可以轻松地分享它们。

此外，傅立叶公式还有很多应用，在此便不再赘述。