 不久前，我正在写一篇关于普朗克长 度的文章——我们宇宙中假设的最短长度。然后我想到，也许我们的现代引力物理学在微小尺度上崩溃的原因是它全都与微积分有关（连续性和平滑性），但适用于空间和时间等真实物理单位。
我开始从头开始开发微积分，而不是限制，我只使用离散间隔。我希望我们可以将它应用到物理学中，使用各种普朗克单位来深入了解量子引力可能是什么样子。 我将在另一篇文章中向您展示我对这个物理问题的解决方法，因为首先，我们需要上述数学理论，它完全独立于物理学，并且正如您将看到的那样，它本身就是一门美丽的数学学科。当我们试图离散地求解爱因斯坦的场方程时，似乎我们得到了一些非常讨厌且可能无法求解的（离散的）微分方程，但这是另一回事（我还没有完成这些计算）。 在我们开始之前，我应该提到离散微积分或有限差分微积分是一个已知的主题（尽管我在发展该理论时并不知道）并且研究得很好，但是，我已经做了很多谷歌搜索在写这篇文章之前先研究这个主题，将已知理论与我的理论进行比较，还有一些我在文献中没有看到的东西（完全概括），例如链式法则。 然而，这取决于我对谷歌内容的能力，因此不应该非常认真地对待。尽管如此，即使知道了，也不妨碍我们再次发展这个理论，并从中获得很多乐趣。 在本文中，我们将从“普通”微积分推导出离散微积分的链式法则以及许多其他熟悉的规则。 我认为学习这门学科将使我们更好地理解整个微积分，因为从某种意义上说，这是一个更普遍的理论。正如您将看到的，微积分是该理论的一个特例，但我们将推导出适用于无限多种类型微积分的公式，其中只有一种是您习惯使用的连续版本。 离散微积分基础我们要处理的第一件事是符号。在数学中，符号很重要。并不是说它决定了基础数学，而是它可以极大地增加学习或混淆读者，具体取决于您的选择。最重要的是，我们需要注意不要与已经建立的理论的符号冲突太多。 离散微积分理论将取决于我选择称为h的参数，因为这似乎是那里最常见的符号（实际上我在开发该理论时用卷曲的“ell”表示它）。这个变量的要点是，根据你设置的内容，你会得到不同的离散导数和积分结果。 回想一下，普通微分运算符通常表示为d/dx或D，它返回的函数通常表示为f'(x)。由于离散导数将取决于变量h，我们将把它合并到离散导数的定义中。 我们定义参数为h的离散导数为：  如您所见，这只是通过点(x, f(x))和(x+h, f(x+h))的割线斜率的公式。请注意，在h = 0的特殊情况下，我们定义  在文献中，您会发现大多数离散微积分的作者将自己局限于h = 1的情况，在这种情况下，离散导数称为前向差分算子并用 Δ 表示。我们不会局限于此，而是研究一般情况，当然包括常规的旧微积分！ 让我们以一个例子开始。熟悉的旧指数函数可能是一个不错的选择。让我们来看看：  嗯。不是我们所期望的！一个线索表明这个更通用的设置并不容易！但这是有道理的。如果我们将极限取为h → 0，我们会得到通常的结果。我将把它作为练习留给读者。 现在我们有了定义，我们需要参数h的离散积分的定义。  请注意，当h → 0时，微分和积分的离散类比成为微积分中常见的类比。另外，请注意，离散积分定义中总和的含义实际上是  这里m遍历 0（含）和(ba)/h - 1之间的整数。出于计算目的，我们假设(ba)/h是一个整数并使用第一个定义，有时在 Σ 上带有下标，有时带有上标。 我们将离散反导数定义为函数I f(x) = F(x, h)使得 
离散微积分基本定理 这里我们假设离散微分是关于变量x的。 在给出另一个离散导数的例子之前，让我们证明上面的第一个。这很简单，因为我们只使用定义。首先，我们使用离散导数的定义。  从这里我们解开离散积分的定义。这样做给了我们  在继续之前，让我们看一个基本定理的例子。让f(x) = x²。通过使用离散导数的定义，很容易看出f*(x, h) = 2x + h。 让我们尝试计算从a到b的参数h为2x + h的离散积分。基本定理说它应该是b² — a²。假设(ba)/h是一个整数，我们有  非常好。 离散微积分规则我们将完全类比微积分的规则来陈述离散微积分的规则。当设置h = 0时，它们都应该归结为熟悉的微积分规则。 在继续之前，我们再介绍两个符号。这只是为了清楚起见。 人们不应该对f顶部的栏感到困惑。例如，它与复杂的共轭无关。 在线性函数上，离散微分与普通微分相同。也就是说，离散微分算子将常数函数映射到0并将形式为ax的函数映射到a。 线性度如上所述，前两个规则在微积分中很常见，将它们结合起来称为线性度。离散微分和积分算子都是线性的。对于离散微分，这意味着 和 这很容易证明，但很高兴知道。下一个结果通常称为乘积规则，与我们熟悉的结果有点不同。 乘积法则与微积分类比，我们有 这看起来很奇怪。左侧在f和 g 中是对称的，但右侧似乎不是。但实际上，这是因为我们也可以在第二项中将横杠放在f之上，这对应于交换表达式中的f和g。 这个证明很容易。我们只是使用定义扩展右侧并取消一些术语。 让我们在函数h(x) = x³ = x²⋅ x上看一个例子。在这种情况下，我们可以检查乘积规则是否与定义一致： 连锁法则这个结果美得惊人。当h = 0时，这是一个一般结果，它为我们提供了通常的链式法则。我们有 为了证明这一点，让我们调用此y(x,h)的右侧并再次使用该定义。 让我们用它来计算熟悉的普通微分算子的特征函数族。 商法则现在我们已经用链式法则武装自己，我们可以将它与乘积法则一起使用来证明离散微积分的商法则。 在证明它之前，我们需要一个很容易从定义中推导出的结果，即 当我们需要离散微分1/g(x)形式的函数时，这将用作外部函数。根据链式法则和上述结果，我们有 现在我们可以使用函数f(x)和1/g(x)的乘积规则来证明商规则。 当我们设置h = 0时，这再次为我们提供了熟悉的微分商规则。我们现在可以离散区分功能，例如 以及使用我们新发现的工具的大量其他功能。但是整合规则呢？ 部件离散集成我们有离散微分的乘积法则。我们可以使用它来推导出分部分离散积分的规则。回想一下在乘积法则中，由于对称性，我们可以选择让横杆超过f或超过g。如果我们选择让它超过 f，在两侧离散积分，然后重新排列，我们会得到以下结果。 我们已经根据不定离散积分陈述了这个定理，如果我们将积分限制放在I上，它也同样有效。这很漂亮。注意与普通微积分的相似之处 让我们用它来计算x⋅e^x的离散积分。要使用该定理，我们需要找到 e^x 的离散反导数，但这很容易，因为我们已经知道什么是离散导数。此外，积分常数在这里无关紧要，因此我们将只找到最简单的离散反导数。所以设置f*(x,h) = e^x和g(x) = x。然后通过零件的离散积分我们有 这里c是离散积分的任意常数。如果您对此持怀疑态度（当我在论文上看到它时，我就是这样），那么请在最后一行的结果上使用离散乘积规则，然后惊奇地看到所有令人讨厌的h抵消掉了xe^x。当然，离散微分时，常数c被映射为0离开乘积。我会使用线性来分解第一个常数因子，f作为 e^x，g作为最后一个因子，然后“禁止g ”。 与微积分的关系如果我们把离散微分看成一个线性算子，实际上我们可以把它写成微分算子。我不会详细介绍，因为这篇文章已经很长了，但这打开了许多令人兴奋的大门。 特别地，我们有 这里 D 是普通微分算子。使用指数函数的麦克劳林级数展开上述内容 让我们看看它是如何作用于函数e^x的。 当然，我们现在已经建立了这些，但很高兴看到它们完全吻合。我们没有时间在本文中采用这种方法，但至少应该提到它。 下一步是什么？这篇文章只是触及了这种美丽的微积分类型的表面。我们推导出了我们在武器库中收集的一系列规则。下一步是实际使用这些结果并找出该数学领域的新真理。 例如，我们可以将其应用于研究离散微分方程，这将是（我认为）一篇有趣的文章。我们还可以尝试在求解相应的离散微分方程组时使用普朗克长度作为距离的最小单位来离散地攻击爱因斯坦的场方程，以便找到度量张量。 我们可以简单地继续前进，看看是否可以找到像离散泰勒级数这样的广义公式。那么替代呢？这在离散积分中可能吗？ |
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