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我们知道，图形翻折前后的对应边、对应角均不发生改变，即沿着对称轴（折痕）翻折后图形的位置变了，但其大小和形状均不发生改变。下面我们画出一个经典的正方形翻折后的基本图形，在此基础上补全构成隐形的半角模型及弦图，从而复习及探讨其中某些线段的数量关系，为解决相关几何问题提供新的思路。 一、正方形翻折后的基本图形 如图1，在正方形ABCD中，E为BC中点，将三角形ABE沿直线AE折叠，点B落在点F处。  二、补全基本图形构成隐形的半角模型 如图2，延长EF交DC于G，连接AG。由正方形性质及翻折的对称性得知，AB = BC = DC = AD = AF=2x，BE = EF = EC =x= 1 ／2 BC，∠BAE =∠FAE =∠a，∠BEA =∠FEA，AE为∠BEF的角平分线。 在直角三角形AFG和直角三角形ADG中，AF = AD，AG为共边，故两三角形全等，∠FAG =∠DAG =∠θ，AG为∠ FGD的角平分线，A点为三角形ECG的旁心。 因2∠α十2∠θ = 90°，∠α十∠θ= 45°，故∠EAG为45°，即为正方形的半角，其具有正方形半角模型的所有性质。 因E为BC中点，G点则为DC的三等分点（详见初中几何“二级结论”秒杀填空和选择题（五）），亦可以用钩股定理证明，即x²十（2x –y）² = (x + y) ²来确定 2x与y之间的关系。  三、补全基本图形构成弦图 如图3，连接BF并延长交DC于l，交AE于P，由翻折对称性得知AE垂直平分 BF，PB = PF。又根据正方形内十字架模型结论，l点为DC之中点。 K为AD中点，连接CK ，交BI于Q点，由于E、l K、J均为正方形边长中点，根据相似三角形性质可得出BP、PQ、QI分别占BI的2份、2份和1份（详见正方形弦图的几个小知识点），已知PB = PF，故F点与Q点重叠。 同理可证明CK经过 DJ和AH的交点L。 DJ交AF于M，交AE于N。AF交BD连线于G点。EF延长线交DC于H。  由上图可知，AE∥KC，可证明Rt△ANM≌FLM，M为NL的中点和AF的中点，MF=1/2 AF（NM为Rt△APF的中位线）。 设BP=PF=NL=LD=2x，则FI=JN=NM=ML=x，MD=3x，BF=4x。因为JD∥BI，△BGF∽△DGM，MG/GF=MD/BF=3x/4x=3/4，故MG=3/7 MF,GF=4/7MF。 四、线段关系的延伸 如图4，设O点为BD的中点，连接OF并延长交DC于W点，则OF和FW存在一定的比例关系。  设K为AD中点，连接OK，则OK∥DC，△KOF∽△ CWF，OF/FW=KF/FC=KO/ WC=3/2（2份、2份和1份）。 KO/ WC=3/2，1/2 DC / WC =3/2, DC / WC =3,W点为DC的3等分点。 延长BF交DC于M，连接OM，则Rt△OMW各边长由勾股定理可得。 五、思考题2例 例1：如图，正方形ABCD边长为6，E为BC中点，将△ABE沿直线AE折叠，点B落在点F处，AF交对角线BD于点G，求FG?  例2：如图，在正方形ABCD中，AB=12，点E在边CD上，连接AE，将△ADE沿AE翻折 ，点D落在点F处。点O是对角线BD的中点，连接OF并延长与CD相交于点G，若EF/AB=1/3，则FG长度是（）。  |
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