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八年级上学期数学，一次函数中三角形面积问题，三种题型需掌握。我们知道，一次函数的图像是一条直线，那么求一次函数与坐标轴围成的三角形的面积，可以先求出直线与
类型一：常规图形 当三角形的底或高在坐标轴上，或者平行于坐标轴上，这样的三角形为常规三角形，可以直接利用三角形的面积公式进行求解。 例题1：如图，在平面直角坐标系中，过点C（0，12）的直线AC与直线OA相交于点A（8，4）． （1）求直线AC的表达式；（2）求△OAC的面积。
分析：（1）设直线AC解析式为y=kx+b，将C（0，12），A（8，4）代入，即可由待定系数法求得直线AC解析式为y=-x+12；（2）过A作AH⊥OC于H，由A（8，4）得AH=8，故S△OAC=1/2OCAH=1/2×12×8=48
本题考查一次函数综合应用，涉及待定系数法、三角形面积等，难度适中，解题的关键是掌握三角形三角形面积的求法。
类型二：铅垂法 对于一般三角形，我们可以选择铅垂法求解三角形的面积。比如求△ABC的面积，我们可以选取任意两点横坐标之差的绝对值作为水平宽，过第三个点作铅垂线，与之前两点所在直线交于一点，第三个点与这个交点纵坐标之差的绝对值作为铅垂高，利用水平宽与铅垂高乘积的一半求出三角形的面积。 例题2：如图，在平面直角坐标系中，点A（2，2），点B（-4，0），直线AB交y轴于点C．（1）求直线AB的表达式和点C的坐标；（2）在直线OA上有一点P，使得△BCP的面积为4，求点P的坐标．
分析：（1）利用待定系数法求直线AB的解析式；然后计算自变量为0对应的函数值得到C点坐标；（2）先求出直线OA的解析式为y=x，作PQ∥y轴交直线AB于Q，如图，设P（t，t），则Q（t，1/3t+4/3），利用三角形面积公式得到1/2×PQ×4=4，即|1/3t+4/3-t|=2，然后求出t得到P点坐标．
本题考查了待定系数法求一次函数解析式：先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设y=kx+b；再将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组；然后解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式。
类型三：等底转化 例题3：如图，直线l1的解析表达式为y=1/2x+1，且l1与x轴交于点D，直线l2经过定点A，B，直线l1与l2交于点C．（1）求直线l2的函数关系式；（2）若点C的横坐标是2，求△ADC的面积；（3）在直线l2上存在异于点C的另一点P，使得△ADP与△ADC的面积相等，请求出点P的坐标．
分析：（1）观察图形，找出点A，B的坐标，利用待定系数法即可求出直线l2的函数关系式；（2）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点C，D的坐标，再利用三角形的面积公式即可求出△ADC的面积；（3）由△ADP与△ADC的面积相等且两三角形有同底AD，即可得出点P与点C的纵坐标互为相反数，结合点C的纵坐标可得出点P的纵坐标，再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点P的坐标．
本题考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征以及三角形的面积，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出一次函数关系式；（2）利用一次函数图象上点的坐标特征求出点C，D的坐标；（3）由两三角形面积相等找出点P的纵坐标。 |
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