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“截长补短”是处理线段间数量关系的一种重要的解题方法，当题目中出现三条线段间的和差关系时(如a=b+c)，常考虑用此法解决。所谓”截”，就是将最长的线段a截成两段，其中一段等于较短的一条线段b，再利用全等三角形或者等腰三角形的知识证另一段等于线段c；所谓”补”，就是将较短的线段b延长，使延长的线段长度为c，相当于将线段b，c拼成一条线段，再证明此线段的长等于a。用截长补短法解决问题的关键是用”截”或”补”的手段去构造线段，从而得到两个三角形全等。
例题1：在△ABC中，AD为△ABC的角平分线，点E是直线BC上的动点． （1）如图1，当点E在CB的延长线上时，连接AE，若∠E=48°，AE=AD=DC，则∠ABC的度数为（ ）°． （2）如图2，AC＞AB，点P在线段AD延长线上，比较AC+BP与AB+CP之间的大小关系，并证明． （3）连接AE，若∠DAE=90°，∠BAC=24°，且满足AB+AC=EC，请求出∠ACB的度数（要求：画图，写思路，求出度数）．
（1）利用等腰三角形的性质和三角形内角和可求出∠ABC的度数；（2）在AC上截取AH=AB，利用SAS证明△PAB≌△PAH，得PH=PB，在△CHP中，再利用三边关系即可得出结论；
（3）延长CA到K，使AK=AB，连接EK，BK，设∠BKE=α，则∠AKE=α+12°，利用SAS证明△AKE≌△ABE，得∠AKE=∠ABE=∠BAC+∠C，即可得出α的值，从而解决问题．
本题是三角形的综合题，主要考查了等腰三角形的性质，角平分线的定义，全等三角形的判定与性质，作辅助线构造三角形全等是解题的关键，有一定的难度。
例题2：（1）阅读理解：问题：如图1，在四边形ABCD中，对角线BD平分∠ABC，∠A+∠C=180°．求证：DA=DC．思考：“角平分线+对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题． 方法l：在BC上截取BM=BA，连接DM，得到全等三角形，进而解决问题； 方法2：延长BA到点N，使得BN=BC，连接DN，得到全等三角形，进而解决问题．结合图1，在方法1和方法2中任选一种，添加辅助线并完成证明． （2）问题解决：如图2，在（1）的条件下，连接AC，当∠DAC=60°时，探究线段AB，BC，BD之间的数量关系，并说明理由； （3）问题拓展：如图3，在四边形ABCD中，∠A+∠C=180°，DA=DC，过点D作DE⊥BC，垂足为点E，请直接写出线段AB、CE、BC之间的数量关系．
分析：（1）方法1：在BC上截取BM=BA，连接DM，证明△ABD≌△MBD（SAS），由全等三角形的性质得出∠A=∠BMD，AD=MD，则可得出结论；
方法2：延长AB到N，使BN=BC，连接DN，证明△NBD≌△CBD（SAS），由全等三角形的性质得出∠BND=∠C，ND=CD，证出DN=DA，则可得出结论；
（2）延长CB到P，使BP=BA，连接AP，证明△PAC≌△BAD（SAS），由全等三角形的性质得出PC=BD，则可得出结论；
（3）连接BD，过点D作DF⊥AB于点F，证明△DFA≌△DEC（AAS），由全等三角形的性质得出DF=DE，AF=CE，证明Rt△BDF≌和Rt△BDE（HL），由全等三角形的性质得出BF=BE，则可得出结论．
本题属于四边形综合题，考查了等边三角形的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于压轴题。 |
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