1、波动方程 弦振动问题与电磁场问题1.1、基本形式基本形式需满足无外力无阻尼。 一维情况： 二维情况： 注意此处因为涉及多维， 变成了粗体向量。 三维情况： 用二维或三维Laplace算子可表示为 以下如无说明，默认三维情况 除了弦振动问题，Maxwell方程组也可导出波动方程，无损耗情况下（电导率 为零），电场强度 和磁场强度 满足： 1.2、含力项的形式 强迫振动此种情况相比于1.1，有外界驱动力施加，记力项（force term）为 ，则含force term的波动方程为 特别地，当外界驱动力为重力， 可简化为重力加速度，为一常矢量。 1.3、阻尼振动此种情况相比于1.1，考虑了振动阻力。 如果考虑电磁场系统的损耗（电导率 非零），则电场方程和磁场方程也是这么个形式： 注意，当 ，可约化为式(5.3.7)。 换个角度看，弦振动的“阻尼”，不也正是该系统的损耗嘛~ 1.4、电报方程 高频传输线问题这边因为实际问题中 表示电压或电流，所以下式中的 都是标量。可以看到，相比于阻尼振动，多出了 一项。 特别地，对于理想传输线，电阻和漏电导可忽略，则电报方程可约化为波动方程的基本形式(5.1.6)。 2、热传导方程/扩散方程2.1、无源热传导一维情况 与波动方程相比，对 的微商是一阶的，因此可以讨论稳态行为。此时， 与时间无关，故有 其中和均为常数。 二维或三维情况，传热的热传导方程、传质的菲克第二定律都是这个形式 2.2、有源热传导3、Laplace方程和Possion方程Possion方程通常借由势场和梯度场的关系导出，如电势 与电场强度 当式(5.3.13)的右侧常数项为零时，Possion方程变成Laplace方程。 Laplace方程也可由无源热传导的稳态情况导出。 4、二阶线性偏微分方程的分类与标准形式通式为 其中 均为 的函数，但不含。当，方程为齐次；否则为非齐次。 令 （==与常见的不同，因为通式中是 而非 ==）。 当 ，为双曲形方程（如一维波动方程） 当 ，为抛物线形方程（如一维热传导方程） 当 ，为椭圆形方程（如Laplace方程和Possion方程） 参考资料：顾樵《数学物理方法》第5章 |
|
|
