量子力学必会数学基础(第一篇)[Shankar量子力学chap.1]: 线性空间以及内积空间的基本概念

taotao_2016 2023-05-08 发布于辽宁

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系列序:
我们知道, 量子力学是当代物理系的核心专业课, 相较于其它物理学的应用学科, 物理专业在量子力学这一现代物理学的支柱学科上无论是深度还是广度都是具有相当区分度的(绝大多数工科不需要学习量子力学, 会用到量子力学的化学专业相较于物理专业而言也是比较粗浅的). 然而, 众所周知, 量子力学是通过“线性代数”(实际上是泛函分析, 但这是物理学家的黑话了, 物理学家通常用微积分和线性代数泛指其用到的所有数学知识, 无论是拓扑学、微分流形、泛函分析还是其它, 毕竟它们归根到底都可以视作是某种“微积分”或者“线性代数”, 当然, 顶多再加一份变质了的“概率论”)这套语言进行表述的. 然而, 大多数人接触线性代数是在大学一年级的第一学期, 而接触量子力学则要等到第四学期乃至于第五学期, 之间的很多内容其实只会用到很少的线性代数. 不仅如此, 国内的线性代数通常只有一个学期的课时, 讲述的知识实际上无法覆盖量子力学学习真正需要的部分, 特别是线性空间和线性算子相关, 而这些对理解量子力学至关重要.
长久以来, 当有试图学习量子力学的初学者向我咨询参考书之时, 我都会向他们强烈推荐R. Shankar所著Principle of Quantum Mechanics, 相较于其他人习惯于推荐的Quantum Mechanics(by D. Griffith), 这本书从一开始就抛弃了传统的波函数叙事, 而是直接使用了现代物理学家更熟悉的Dirac记号, 并且在这个记号的基础上带着读者学习(或者复习)了一遍量子力学中最为基础的那部分数学知识, 包括线性代数的相关知识以及一些积分相关的内容(另一本书则是Cohen Tannoudji的两卷本, 这本书厚是厚了点, 但确实全面, 它的前三章对需要用到的数学也做了梳理, 但是还是默认读者有着一定的线性代数基础, 这就不如Shankar了, 毕竟Shankar直接假设读者只有大学一年级的物理水平, 也就是只熟悉三维欧式空间的各种矢量而已, 顶多了解一点点低阶矩阵, 这毕竟是AP课程的一部分). 最重要的是, 这本书自带习题的解答, 这对自学而言至关重要. 事实上, 我往往推荐初学者至少阅读完Shankar的第一章再转入其它教科书的学习之中.
为了方便初学者, 在这个系列中我会将Shankar书的第一章翻译出来, 读者如果觉得确实符合自己的胃口, 可以找到其原版书进行阅读. 即便觉得不符合自己的胃口, 我也强烈建议读者在阅读完这一章之后再转入其它教科书的怀抱. 另外, 我并不是完全直译, 部分语段我可能会采用意译的方式, 甚至会直接更改部分原文. 考虑到我自己语言水平不佳, 所有语句不顺以及表述不清的问题, 其责任都在我. 还是那句话, 读者若是觉着读着不顺或者难以理解, 请转读原书, 毕竟我只是个不合格的二道贩子罢了.
本章序:
(这是原书第一章的章序言, 我认为读者有必要时刻记住Shankar老先生的叮嘱, 因此决定每一篇前都带上这一章序.)
本书目的在于从其公理开始向读者介绍量子力学, 而本章的目的则在于使读者具备必要(而且完整系统)的数学. 假定读者对矢量以及矩阵的基本概念有一些了解, 从这些基础开始, 我们需要的所有数学知识都可以在这一章学到. 书中给出了大量和经典力学相关的例子以及习题, 这既可以减轻数学上学习的负担(毕竟这提供了充分的实例以及动机. —— 译者注), 又证明这里提出的思想之广泛适用性. 你们在这一章所付出的努力将是非常值得的: 它不仅帮你们做好学习量子力学这门课的准备, 而且还可以将你们零碎学到的很多思想统一起来. 要真正学习这一章, 你们必须像学习其他章节一样, 完成附带的习题.
学生须知:
(这是原书中序言的一部分, 我特别将其摘录出来, 因为它提到了第一章的重要性.)
尽你们所能完成习题, 越多越好 —— 特别是标有或者结果中带有公式标号的那些. 每个习题的答案要么随习题一道给出, 要么在本书的结尾给出.
第一章极其重要. 不要匆匆跳过, 即便你们已经熟悉了那些数学, 也至少读一读, 熟悉一下符号.
我并不是说这门课简单, 但是我希望这本书能让它合理一点.
祝你们好运!
阅读须知:
这本书毕竟是一本物理书, 书中对诸多数学概念的处理充满了“物理人”的“随意”, 其严谨性相较于数学书欠缺了那么一点. 但无伤大雅, 因为只要你阅读的是物理书, 大多数作者对数学概念的态度和本书是差不多的. 所以安心接受本书作者的说法就是.
或许有人会觉得这里介绍的数学知识有点少, 毕竟线性代数至少还要学一学期呢, 这里介绍的内容甚至不足两周的课时! 然而事实上, 学习量子力学这些知识足够了! 其余需要的线性代数知识基本上我们都可以在这门课程中通过具体案例接触, 而不必专门去学习.

1.1 线性矢量空间基础

在这一节我们会学习线性矢量空间(linear vector spaces). 你们肯定对基础物理中那些用于表示速度、力、位移、扭矩等的大小与方向的箭头颇为熟悉了. 你们知道它们是如何相加的, 也知道它们如何与一个标量相乘, 并且知道这两个运算所遵循的规则. 比如说, 你们知道标量乘法满足分配律(原书第二版中是结合律, 应为笔误. —— 译者注): 矢量和的倍数等于其倍数的和. 我们要做的就是从这些简单的例子出发抽象出一组基本特征或者说公理, 服从这组特征(或者公理)的任意对象的集合就构成一个线性矢量空间(按照现在的习惯, 我们或称线性空间, 或称矢量空间. —— 译者注). 关键在于在推广时保留哪些性质: 如果你们保留得太多, 就不会有其他满足这些性质的例子; 但是保留的太少, 就又不会从这些公理中得到有趣的结果.

下面我们将看到的就是经过数学家们精心挑选后构成矢量空间所必须的性质的列表. 当你们阅读它们的时候, 请将其与你们熟悉的“箭头世界”相比较, 确保它们确实是你们所熟悉的这些矢量所满足的性质. 但是也请注意, 这些性质当中, “箭头世界”中每个矢量都有其大小和方向的这一要求明显缺失了, 而这是我们第一次听到矢量这个概念后脑海中第一个也是最为显著的特征. 因此你们或许会这样认为: 舍弃该要求就是倒洗澡水时将孩子一同倒掉(Throw the baby out with the baby bath water, 这是一则广泛流传的俗语, 意思是不分精华糟粕而全盘否定. —— 译者注). 然而, 你们有充足的时间欣赏这一选择背后的智慧, 因为你们将会看到在矢量空间这一标题之下, 各种思想的伟大统一以及综合. 你们会看到一些矢量空间的例子, 它们包含一些我们无法直观感受的对象, 它们既没有大小, 也没有方向. 虽说你们应该对前面所述印象深刻, 但是烦请牢记, 通过箭头来思考这些推广, 并借此直觉来证明定理或者至少预见到它们, 这样做并非坏事.

定义1(线性矢量空间): 线性矢量空间是一些称作矢量(vector)的对象, , , , , , 的集合, 该集合之上存在
生成矢量之和的明确规则, 矢量和之和记作;
与标量等相乘的明确规则, 矢量与标量相乘记作;
并且这两个运算满足下述特征:
它们运算得到的结果还是该空间的矢量, 这一特征称作封闭性(closure): , .
标量乘法对矢量加法满足分配律(distributive in the vectors): .
标量乘法对标量加法满足分配律(distributive in the scalars): .
标量乘法满足结合律(associative): .
加法满足交换律(commutative): .
加法满足结合律: .
存在一个满足的矢量, 称作零矢量(null vector).
对于每个矢量, 存在其加法逆元使得.
对于标量, 我们有.

记住这些要求有一个很棒的方法, 那就是顺其自然(因为它们满足的不过是我们希望加法和乘法所具有的运算律罢了. —— 译者注).

定义2(矢量空间所在的数域): 定义1中定义矢量空间时所提及的数所在的空间称作所在的数域(field).

如果这个数域由所有实数构成, 我们就得到了一个实矢量空间(real vector space); 如果由所有复数构成, 我们就得到复矢量空间(complex vector space). 但是矢量本身既非实数也非复数 —— 这一形容词是对标量而言的.

我们要注意, 上述公理可以推出

是唯一的, 也就是说, 如果也有所满足的性质, 则.
.
(这里应该理解为标量与的乘积. —— 译者注).
是唯一的加法逆元.

它们的证明留作下面的习题. 它们的证明不是必须的, 但是你们必须知道这些结论.

习题1.1.1: 验证上面的这些断言.
提示: 对于第一个断言, 考察, 然后依次使用这两个零矢量所具有的性质. 第二个断言则从考察开始. 第三个断言应该从开始. 至于最后一个, 设也满足. 因为是唯一的, 这就意味着. 然后从这里开始即可,

习题1.1.2: 考察所有形式为且均为实数的三元组的集合. 在其上定义加法和乘法如下:
写出这一空间中的零矢量以及的加法逆元. 证明所有形式为的矢量不构成矢量空间.

注意, 我们现在正在使用一个新的符号来表示一个一般的矢量. 这个东西读作ket (虽然按理这里应该写成右矢, 但是通常我们还是习惯于将右矢读作ket. —— 译者注), 称作右矢(ket), 这一命名源于Dirac, 稍后我们会详细讨论他的这套记号. 作为让你们摆脱“矢量是箭头”的这一有限观念的第一步, 我有意不采用的这套记号来表示矢量. 然而, 在你们看到足够的非箭头矢量并做好丢开“拐杖”的准备之前, 我并不反对你们将与类似箭头的物件联系起来.

你们应当验证箭头的集合确实构成前面公理所确定的矢量空间. 接下来是一些你应当知道的关键想法. 矢量空间由箭头组成, 其典型元素形如和, 它们的加法是我们所熟悉的: 取第二个箭头的尾部, 将其放置到第一个箭头的顶端, 它们的和就如图1.1所示.

而箭头与标量的标量乘法就是将其拉伸一个因子. 这是一个实矢量空间, 因为拉伸一个复数因子是没有意义的. (如果是负数, 我们可以将其解释为改变箭头的方向并拉伸一个因子.) 因为这些作用于箭头的操作会给出更多的箭头, 我们就有了封闭性. 加法和标量乘法显然具有所有需要其满足的结合律和分配律特征. 零矢量是长度为零的箭头, 而一个箭头的加法逆元就是与其方向相反且长度相同的箭头.

于是所有箭头的集合就是一个矢量空间, 但是我们不能瞎摆弄(tamper)它. 比如说, 所有沿着轴正方向的箭头就不构成矢量空间, 因为它们没有加法逆元.

请注意, 到目前为止, 我们都还没有提到大小以及方向. 其原因在于虽然箭头具有这些特性, 但是矢量空间的元素却不必如此. 然而除非我能够向你们提供一些例子, 否则该陈述毫无意义.

考察所有矩阵的集合, 我们知道它们如何相加, 也知道如何将它们与标量相乘(即四个矩阵元都乘以该标量). 其加法规则和数乘规则也服从封闭性、结合律以及分配律. 零矢量就是零矩阵, 即所有矩阵元都是零的矩阵. 而一个矩阵的加法逆元就是其对应矩阵元相反数构成的矩阵. 你们必须承认现在我们确实得到了一个一般的矢量空间, 它由一些明显没有长度和方向的东西组成(当然, 我们可以人为加上长度和方向, 这只要规定参考方向, 然后取内积和模即可, 因此原文为没有明显的长度和方向. 我修改了一下语句使其语气更为独断论一点. —— 译者注). 当我们希望强调矩阵是一个矢量空间的元素之时, 我们就可以称其为ket 4或者说.

第二个例子我们来考察定义在区间上的所有函数. 我们定义其与标量相乘的结果为. 而加法则定义为逐点相加: 函数和的和在点处的函数值为. 零矢量就是处处为零的那个函数(即零函数), 而的加法逆元就是.

习题1.1.3: 第二个例子中在端点和处为零的全部函数是否构成矢量空间? 满足的所有周期函数(periodic function)呢? 满足的所有函数呢? 如果它们之中某个不构成矢量空间, 请说明其不满足哪一条性质.

下一个概念就是矢量组的线性无关性(linear independence). 首先考察形式为

的线性关系(我们将的左边称作矢量组的线性组合. —— 译者注).

不失一般性, 我们可以假设左边不含的倍数项, 因为如果左边存在这么一项, 我们就可以将其移到右边, 将其与相加我们就再一次得到了. (这里我们用到了的任意倍均为的事实.)

定义3(线性相关与线性无关): 如果线性关系成立只有平凡解 —— 即所有, 则称这组矢量是线性无关(linearly independent)的. 如果一组矢量不是线性无关的, 我们就称其线性相关(linearly dependent).

方程告诉我们线性无关组中任意元素都不可能用其它元素(线性)表示出来. 另一方面, 如果矢量组是线性相关的, 这样的关系就会存在, 并且至少有两个非零的系数. 比方说我们设, 则我们就可以写下

这样我们就将用其它矢量表示出来了.

一个具体的例子是这样的(注意这里是在箭头空间中讨论问题. —— 译者注): 我们考察平面上两个不平行的矢量和, 它们就构成一个线性无关组. 我们没有办法将其中一个矢量写成另一个矢量的倍数, 或者等价地说, 不可能将它们组合起来得到零矢量. 另一方面, 如果它们相互平行, 那么我们显然可以将一个矢量写成另一个矢量的倍数, 或者等价地, 将它们组合起来得到.

注意我这里说的是而不是. 严格地说, 这样做是不正确的, 因为矢量相加得到的必然是一个矢量而不是一个数. 然而, 将零矢量简单地写成是一种很常见的行为.

假设我们在这个平面上引入第三个矢量. 如果它平行于前两个矢量中的任意一个, 我们自然就得到了一组线性相关的矢量, 因此让我们假设并非如此. 但即便如此, 我们仍然可以断定这三个矢量是线性相关的. 这是因为我们可以将他们中的一个 —— 比方说—— 写成另外两个矢量的线性组合. 要找到该组合, 我们首先从的尾部沿着的方向画一条线. 然后从的顶端画一条与反向平行的线. 这两条线必然相交, 因为根据假设, 和彼此不平行. 两条线的交点就可以告诉我们希望得到的和的倍数是多少: 我们从的尾部出发通过的合适倍数抵达, 从的顶端出发通过的合适倍数抵达.

习题1.1.4: 考察所有实矩阵构成的矢量空间中的三个元素:
它们是否线性无关? 给出细节支持你的判断. (注意我们称这些矩阵为矢量, 因此使用右矢来表示它们, 以此强调其为矢量空间元素的身份.)

习题1.1.5: 证明行矢量, 以及是线性相关的. 证明, 和却是线性无关的.

定义4(维数): 如果一个矢量空间最多容纳个线性无关的矢量, 我们就称其维数(dimension)为. 如果其数域为实数, 则将其记作, 如果数域为复数, 则将其记作.
译者注: 原书用和表示实数和复数, 这是因为通常的教科书采用黑板粗体和实现这一目标, 但是我们已经用黑板粗体用来表示矢量空间了. 为了和常规书籍保持一致, 这里我们采用黑正体等表示数集, 毕竟这是另一套常见的数集符号.

鉴于早先的讨论, 我们知道平面是二维的, 而所有不限于该平面的箭头的集合定义了一个三维矢量空间. 那矩阵的全体呢? 它们构成了一个四维的矢量空间. 这里有一个证明: 下面的矢量是线性无关的:

因为它们中间任意三个的线性组合都不可能给出第四个矢量, 毕竟第四个矢量中非零矩阵元所在的位置处其余三个矢量的矩阵元都是零. 因此这个矢量空间至少是四维的. 维数可以更高一点吗? 不可以! 因为任意一个矩阵都可以用它们四个表示出来:

如果标量都是实数, 我们就得到了一个实四维空间, 如果它们都是复数, 则我们就得到了一个复四维空间.

定理1: 若是维矢量空间中的矢量, 则它可以写成个线性无关的矢量的线性组合(linear combination).

兹证明如下: 如果存在一个矢量使得其不成立, 则我们将其加入到已有的线性无关矢量组中就得到个线性无关矢量构成的矢量组, 根据定义这在维空间中是不可能的.

定义5(基): 我们将维矢量空间中个线性无关矢量构成的矢量组称作该矢量空间的一组基(basis).

于是, 在上面的定义下, 定理1可以写作

其中这些矢量构成一组基.

定义6(矢量在基下的分量): 矢量在一组线性无关的基(比如中的)下线性展开的系数(比如中的)称作该矢量在这组基下的分量(component).

定理2: 给定矢量和一组基, 其形如的展开是唯一的.

假设这个展开不唯一, 我们就可以找到第二个展开式

用减去我们就得到(也就是给第二个式子乘以标量, 然后两个式子相加)

这就推出

因为基矢量是线性无关的, 它们之间只存在平凡的线性关系. 注意给定一组基后分量是唯一的, 但是如果我们换一组基, 对应的分量就会发生改变. 我们将视作是抽象矢量, 它自身存在, 且满足与其它矢量的各种关系. 当我们选定好一组基后, 抽象矢量就以其分量表示出来, 而矢量之间的关系就用分量之间满足的关系表示. 打个比方, 假想平面上有三个箭头, 和, 它们之间依照箭头的加法法则满足. 到目前为止我们还没有选定好一组基, 我们也不需要一组基来证明这些矢量构成一个闭合三角形. 现在, 我们选定一组基, 并且将每个矢量以其分量表示. 那么这些分量就会满足, . 如果我们选择另一组基, 这些分量的数值也会发生变化, 但是它们之间的关系 —— 表示这个量与其余两个矢量之和相等 —— 在新的分量下仍旧成立.

在非箭头矢量的情况下, 如初等情形那样将它们的分量相加以实现矢量相加要归功于那些公理. 如果

且

则

这里我们用到了那些公理(确切地说, 用到了交换律来将同一基的倍数放到一起, 然后逆用分配律提出因子. —— 译者注)来重组那些项. 最终结论如下:

两个矢量要相加, 只需让它们的分量相加.

这里没有提到将一个矢量的尾部添加到另一个矢量的顶端等操作, 因为一般的矢量并没有顶部和尾部. 当然, 如果我们处理的是箭头, 并希望求它们的和, 我们既可以采用基于它们尾部与顶部的惯常操作, 也可以在一组基下简单地将它们的分量相加.

同样的方式, 我们有

换句话说,

矢量与标量相乘, 只需将其所有分量与该标量相乘即可.

1.2 内积空间

有了矩阵和函数的例子, 你现在应该可以相信存在其元素没有预先定义的长度以及方向的矢量空间了. 但是, 我们可以构造出这样一些量, 它们与箭头情形下箭头的长度与夹角满足相同的性质. 第一步是定义箭头点积的合理类比. 在箭头的情形中, 点积定义为

由此我们可以得到箭头的长度为, 而两个箭头和夹角的余弦值为. 现在你可能会这样反对: 如果点积本身需要用到长度和夹角, 我们又怎么可以用点积来定义长度和夹角呢? 其回答是这样的: 回忆点积可以由分量给出其与等价的第二种表达式:

我们的目标是在已经有矢量在一组基下的分量这一概念之后, 为点积的一般情况定义一个类似的公式. 为此, 我们回忆上面的点积之主要特征:

(对称性, symmetry).
且等号成立的充要条件是(半正定性, positive semidefiniteness).
(线性, linearity).

点积线性性质的示意图见图1.2.

我们希望在任意两个矢量和之间定义一种点积的推广, 并称之为内积(inner product)或者标量积(scalar product). 我们用符号来表示它(确切地说, 是, 我们把中间的两条竖线合并为一条了. —— 译者注). 它依旧是一个依赖于两个矢量的数(通常是复数). 我们要求其满足下述公理:

(斜对称性, skew-symmetry).
且等号成立的充要条件是(半正定性, positive semidefiniteness).
(对右矢线性, linearity in ket).

定义7(内积空间): 带有内积的矢量空间称作内积空间(inner product space).

注意, 我们目前还没有给出一个可以用来实际计算标量积的具体规则 —— 我们只是要求我们提出的任何一个计算规则都必须满足这些性质. 为了找到这样一条规则, 让我们首先熟悉熟悉公理. 第一条公理和点积所满足的第一条公理稍有不同, 这使得内积对参与运算的两个因子的顺序很是敏感, 不同的顺序之间相差了一个复共轭. 在实矢量空间中, 这条公理就给出了两个矢量交换时点积所满足的对称性. 就目前而言, 我们需要注意到这条公理保证了是实数.

第二条公理则指出不仅是实数, 它还是半正定的, 它只在矢量自身为零时等于零. 如果我们要将矢量的长度定义为该矢量与其自身内积的算术平方根(就如同点积那样), 那么这个内积最好是实数, 并且对于所有非零矢量为正数. (因此第二条公理保证了这样定义是合理的. —— 译者注)

最后一条公理表述了当标量积的第二项中出现矢量的线性叠加(linear superposition)时内积的线性性质. 我们业已讨论其于箭头情形时的有效性(图1.2).

那当内积的第一个因子中出现线性叠加时 —— 也就是—— 又是怎么样呢? 这由第一条公理予以确定:

这就给出了内积关于其第一个因子的反线性(antilinearity)性质(通常数学书中也称之为共轭线性性质. —— 译者注). 换句话说, 如果矢量的线性叠加出现在内积的第二个因子中, 则它关于另一个矢量的内积就是各自内积的线性叠加, 如果矢量的线性叠加出现在内积的第一个因子中, 则它关于另一个矢量的内积就是各自内积系数取复共轭后再线性叠加. 这种不对称性在实矢量空间中是见不到的, 但是随着课程的进行你会慢慢熟悉它.

让我们继续讨论内积. 即便我们目前试图摆脱“矢量就是箭头”这一观念的限制, 在寻求点积这一概念的推广时我们仍旧要使用一些相同的术语.

定义8(正交、垂直): 如果两个矢量的内积为零, 则称它们正交(orthogonal)或者垂直(perpendicular).

定义9(范数、长度): 我们将称作矢量的范数(norm, 这里也可以译作模)或者长度. 如果矢量具有单位长度, 即范数为, 则称其为归一化矢量(normalized vector).

定义10(正交归一基): 一组范数为且彼此正交的基矢的集合称作一组正交归一基(orthonormal basis).

我们也经常将内积或者标量积称作点积(但我在翻译之时都尽可能在非箭头情形避免使用点积一词了. 不过不排除某些地方我没注意到. —— 译者注).

现在我们就可以准备得出用分量表述的内积的具体公式了. 给定矢量和如下:

由内积满足的公理我们可以得到

要想更进一步, 我们就必须知道基矢之间的内积. 这就取决于基矢的具体细节, 而我们唯一能够确定的就是它们是线性无关的. 此情况对箭头也是成立的. 考察这样一个二维问题: 基矢是两个线性无关且彼此不垂直的箭头. 如果我们将所有箭头用这一组基表示, 那么它们之中的任意两个箭头的点积就是一个双重求和, 其展开后有四项(由基矢之间的四个可能的点积确定), 这正如所述. 然而, 如果我们使用的是像和这样的正交归一基, 则只有像这样的对角项幸存, 从而我们就得到了那个熟悉的结果: , 它只和分量有关.

对于一般的非箭头情形, 我们调用定理3.