线性代数入门——第三讲行列式的计算

ykzdc 2023-05-08 发布于河南

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上一讲我们学习了行列式中的诸多性质，而这些性质最主要的应用还是在行列式的计算上，所以这一讲主要就是运用性质对行列式进行计算。

一、代数余子式

假设我们现在有一行列式为
$D = | \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & . . . & a_{1 j} & . . . & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & . . . & a_{2 j} & . . . & a_{2 n} \\ . . . & . . . & . . . & . . . & . . . & . . . \\ a_{i 1} & a_{i 2} & . . . & a_{i j} & . . . & a_{i n} \\ . . . & . . . & . . . & . . . & . . . & . . . \\ a_{n 1} & a_{n 2} & . . . & a_{n j} & . . . & a_{n n} \end{matrix} |$

则代数余子式
$A_{i j} = (- 1)^{i j} \times | \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & . . . & . . . & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & . . . & . . . & a_{2 n} \\ . . . & . . . & . . . & . . . & . . . \\ . . . & . . . & . . . & . . . & . . . \\ a_{n 1} & a_{n 2} & . . . & . . . & a_{n n} \end{matrix} |$

对于乘号右边的行列式，通俗一点来理解就是把第 $i$ 行和第 $j$ 列划掉后剩下的行列式。

二、计算

得到代数余子式后，对于任意一个行列式还有以下公式来表示 $D$ 的值
$D = a_{i 1} \times A_{i 1} a_{i 2} \times A_{i 2} . . . a_{i n} \times A_{i n}$
对这个公式的理解为，对一行（或一列）的元素本身乘上它的代数余子式进行求和得到的值即为原行列式的值，下面给出证明方法。

首先要证项数相等，考虑对 $A_{i j}$ 展开，则 $A i j$ 一定包含 $(n - 1)!$ 项，而一行又有 $n$ 个元素，所以有 $n$ 个 $a_{i j} \times A_{i j}$ 项，所以一共有 $n \times (n - 1)! = n!$ 项，与原行列式的项数相同。

其次再来证明总和相同。对于 $a_{i j} \times A_{i j}$ 的任意一项可以写为
$a_{i j} \times (- 1)^{i j} \times (- 1)^{l} \times a_{1 j_{1}} a_{2 j_{2}} . . . a_{i - 1 j_{i - 1}} . . . a_{i 1 j_{i 1}} . . . a_{n j_{n}}$
于是可以得到
$(- 1)^{(i - 1) l (j - 1)} \times a_{i j_{i}} a_{1 j_{1}} a_{2 j_{2}} . . . a_{i - 1 j_{i - 1}} . . . a_{i 1 j_{i 1}} . . . a_{n j_{n}}$

所以我们就证明了每一项都与原行列式是相等的。

接下来我们以这个行列式为例尝试一下行列式的计算过程。行列式计算的基本思路就是，利用上一讲的性质八，让行列式中的某一行或某一列有 $(n - 1)$ 个 $0$ ，然后利用代数余子式对行列式进行降阶，如此反复操作，直到达到二阶行列式或三阶行列式，方便使用对角线法则时，直接求解即可。
$D = | \begin{matrix} 3 & 1 & - 1 & 2 \\ - 5 & 1 & 3 & - 4 \\ 2 & 0 & 1 & - 1 \\ 1 & - 5 & 3 & - 3 \end{matrix} |$

将第二行 $\times (- 1)$ 加到第一行，行列式的值不变，得到
$D = | \begin{matrix} 8 & 0 & - 4 & 6 \\ - 5 & 1 & 3 & - 4 \\ 2 & 0 & 1 & - 1 \\ 1 & - 5 & 3 & - 3 \end{matrix} |$
再将第二行 $\times 5$ 加到第四行，行列式的值也不变，得到
$D = | \begin{matrix} 8 & 0 & - 4 & 6 \\ - 5 & 1 & 3 & - 4 \\ 2 & 0 & 1 & - 1 \\ - 24 & 0 & 18 & - 23 \end{matrix} |$
根据代数余子式相关性质
$D = 1 \times (- 1)^{2 2} \times | \begin{matrix} 8 & - 4 & 6 \\ 2 & 1 & - 1 \\ - 24 & 18 & - 23 \end{matrix} |$
第二列加到第三列，得到
$D = | \begin{matrix} 8 & - 4 & 2 \\ 2 & 1 & 0 \\ - 24 & 18 & - 5 \end{matrix} |$
第二列 $\times (- 2)$ 加到第一列，得到
$D = | \begin{matrix} 16 & - 4 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ - 60 & 18 & - 5 \end{matrix} |$
再根据代数余子式相关性之，可得
$D = 1 \times (- 1)^{2 2} \times | \begin{matrix} 16 & 2 \\ - 60 & - 5 \end{matrix} | = 40$
以上就是行列式的计算过程，虽然有些繁琐，但只要思路清晰，计算正确是没有问题的。

三、三角形行列式

包含两类行列式，上三角形行列式和下三角形行列式。此处仅给出下三角形行列式。可以根据代数余子式的相关性质进行展开，就得到
$D = | \begin{matrix} a_{11} & 0 & 0 & 0 & . . . & 0 \\ a_{21} & a_{22} & 0 & 0 & . . . & 0 \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & 0 & . . . & 0 \\ . . . & . . . & . . . & . . . & . . . & . . . \\ a_{n 1} & a_{n 2} & a_{n 3} & . . . & . . . & a_{n n} \end{matrix} | = a_{11} a_{22} . . . a_{n n}$
上三角形行列式同理。