【原】麻省理工线性代数学习-第17讲-克拉默法则/逆矩阵/体积

第15和16讲分别介绍了行列式的基本性质和计算方法，本讲是行列式的最后一讲，将介绍如何应用行列式，下面进入本讲内容。行列式用一个数值包含了所有信息，从行列式的值出发，可以发现新的公式，用于求解一些非常熟悉但缺少公式的问题，下面从求解逆矩阵开始。

1、求解逆矩阵

对于简单矩阵，2x2矩阵，

那么，对于更高阶矩阵的求逆公式呢？

根据上面的例子，可以推测逆矩阵中应包含1除以原矩阵行列式值，这说明只有行列式值不为0时，才存在逆矩阵。通过剩下部分，逆矩阵中的数值与原矩阵的代数余子式存在某种对应关系，那么可以推测出，

这里矩阵C是原矩阵的伴随矩阵，C的每个元素是原矩阵的代数余子式。例如上面例子，元素c的代数余子式是-b，然后转置后恰好正确。

下面需要进一步证明这个公式，是否对于任意阶矩阵都成立：

这里，A的行列式值是由n项相乘，而伴随矩阵C中元素则是由n-1项相乘，

显然第一个矩阵和第二个矩阵第1行×第一列恰是行列式A的值，第2行×第2列也是，同理...，第n行×第n列也是；所以对角线元素全是detA;接下来，就是求解非对角线元素，显然只有非对角线元素全为0，上式才能成立；根据公式，某行乘以对应的代数余子式结果是矩阵的行列式值，此时元素和代数余子式都来自同一行；但如果两者并不是同一行，例如元素是第一行，代数余子式是第三行，通过验证上面2x2的矩阵，显然是为0，证明略；记住计算公式即可。

2、克莱姆法则

对于方程Ax=b，矩阵A可逆，则

所谓克莱姆法则，是在原公式基础上进一步看x的分量，那么C转置的每一行与b相乘，就类似某一个矩阵B1沿行b展开得到行列式值。此处矩阵B1,B2...Bn的规律：

B1=[b    原矩阵A的n-1列]，即用向量b替代了原矩阵A的第一列；沿第一列展开：

B2....Bn也是同理；因此Bj等于矩阵A的第j列用向量b来替代；

该公式相当于求解n+1个矩阵的行列式（A和n个B），但这样计算量非常大。

3、行列式的应用

行列式的实际应用之一就是求解体积，行列式值等于某几何体的体积。

证明：行列式的值等于箱子的体积。

先假设行列式是3x3的，与之对应的是三维空间里面的箱子，在三维的直角坐标系中，矩阵的第一行是a11,a12,a13,这是一个行向量，指向三维空间内一点，另外两行确定另外两个行向量，即另外两个顶点。

显然对于单位阵，结论是成立的；

接下来，看下正交阵，它显然是旋转后的单位阵，显然结论也是成立的（正交矩阵乘以正交矩阵等于单位阵，而矩阵的行列式值等于矩阵转置的行列式值）；同理，对于长方体依旧是成立的；而根据行列式性质3，可以将矩阵划分成若干部分，即将箱子划分成若干部分，其实也同样成立。

而对于2阶行列式相当于对应平面图形面积。