2023年越秀区一模数学第16题分析（动点轨迹与最值问题）

本题选自2023年越秀区一模数学填空压轴题，动点最值问题，难度较大，不容易想。

【题目】

（2）的解法多样，其实用解析法是比较简单的。

直接以点A为坐标原点建系，此时，

A（0，0），

E（0，t），

B（0，6），

C（4，6），

F（4,6-t），

D（4，0），

遇到垂直＋旋转，考虑构造三垂直模型。

此时，点G的横坐标为4+6-2t，

纵坐标为6-t-4，

即G（10-2t，2-t），

设x=10-2t，y=2-t，

那么可以得到y=1/2x-3，

说明点G的运动轨迹为线段，求DG的最值，我们就根据垂线段最短，求出点D到该直线的距离即可。

代入点到直线的距离公式

d=|kx-y+b|/√（1+k²）=|2-0-3|/√（1+1/4）=2√5/5。

也就是最值为2√5/5。

当然，本题还有比较多的作法。

其他公众号发布的表示DG的平方。

依然设AE=t，

那么在下面这个直角三角形中，可以得到DG的平方

DG²=（4-FD）²+（6-2t）²

      =（4-6+t）²+（6-2t）²

      =5t²-28t+40

求得最小值为2√5/5。

其实很容易通过猜测，得到点G的轨迹为线段，然后再证明或计算即可。

将AC绕点C逆时针旋转90°，确定起点的位置，可以发现△FG相当于△OCA′绕点O顺时针旋缩而成的，易得两个三角形始终相似。

进而得到△OCF相似△OA′D，那么就可以得到∠OA′G=∠OCD始终保持不变。

说明点G始终在直线上运动。求出最值即可。