 传闻这世间存在一只妖，它神通广大，善推演，无所不知。 只要它愿意动动手指，记录下某一刻宇宙中每个原子确切的位置和动量，就能根据牛顿定律，瞬间算出宇宙的过去与未来。这就是大名鼎鼎的拉普拉斯妖。 这只妖是宏观经典力学的守护者，也是牛顿理论的信仰者，对于它来说，过去和未来尽在它的掌控之中，没有什么是不确定的，一切都可以通过现在的状态计算得知。 然而，这样一只科学神兽，很快就被热力学和量子力学联合“掐死”在威斯特敏斯特大教堂牛顿的坟墓前，而主刀的刽子手有个美丽的名字，叫作蝴蝶效应。  蝴蝶效应 差之毫厘，谬以千里 根据经典力学，我们能精确地预言哈雷彗星每 76 年回归地球一次，那么，对于未来的天气预报，我们是否也能精准预测呢？ 1961 年之前，美国气象学家洛伦兹认为自己一定能找到一个精准预测天气变化的数学模型。为此，他每日都待在计算机房里，用那台占满整间实验室的庞然大物，模拟着影响气象的大气流。这一过程耗时数月，并且顺利输出了一系列数据，但为了确认计算结果的精准，洛伦兹决定再算一遍。不过这次他在计算过程中偷了个小懒，在输入中间一个数据时，将原来的 0.506127 省略为 0.506。 没想到这初始值的微小差别，最终却使计算结果千差万别，如图19-1 所示。  图 19-1 洛伦兹的两次计算结果 实线和虚线分别代表了洛伦兹的两次计算过程，如果初始值稍稍变化，结果就会大相径庭。一个晴空万里，一个电闪雷鸣，那这样的预报还有实际意义吗？对此，洛伦兹感到挫败不已。毕竟根据经典理论，初始值偏离一点点，结果也只会偏离一点点。由此，科学家才可以提前相当长的时间预测极复杂的系统的行为。这一点，是拉普拉斯妖决定论的理论基础，也是洛伦兹梦想进行长期天气预报的根据。 为了走出困境，洛伦兹决定深入研究他的微分方程组解的稳定性，也正是这个方程组，在后来成了历史上第一次让科学家从中认识到混沌可能性的动态体系：  这是一个不能用解析方法求解的非线性方程组，是洛伦兹以其非凡的抽象能力，将气象预报模型里的上百个参数和方程简化成一个仅有三个变量和时间的系数的微分方程组。 方程组中的 x、y、z 并非运动粒子在三维空间的坐标，而是三个变量。这三个变量由气象预报中的诸多物理量，如流速、温度、压力等简化而来。其中，μ 在流体力学中称为瑞利数 1，与流体的浮力及黏度等性质有关。当 μ=28 时，利用计算机对变量 x、y、z 进行反复迭代，模拟出来的三维图形就宛若一只展翅欲飞的蝴蝶，如图 19-2所示，这便是蝴蝶效应的由来。 为什么模拟系统最终会出现这样一幅奇妙而复杂的“洛伦兹吸引子 ”图？正常来说，大部分系统的“最后归属”，即吸引子的形状，可归纳为如图 19-3 所示的三种经典吸引子。  图 19-2 洛伦兹方程组三维模拟图 例如，任何一个钟摆，如果不给它不断地补充能量，最终都会由于摩擦和阻力而停止下来。也就是说，钟摆系统的最后状态会是相空间中的一个点。  图 19-3 洛伦兹吸引子 有趣的是，洛伦兹系统的吸引子却无法归类到任何一种经典吸引子，只能被称为奇异吸引子 。经典吸引子对初始值都是稳定的，奇异吸引子表现出对初始值的敏感性，即初始状态接近的轨迹之间的距离随着时间的增长而指数增长。 看着这个图形，洛伦兹愈发觉得这个系统的长期行为十分有趣。 在这个三维空间的双重绕图里，轨线看起来是在绕着两个中心点转圈，但又不是真正在转圈，因为它们虽然被限制在两翼边界之内，但决不与自身相交。这意味着系统的状态永不重复，是非周期性的。也就是说，这个具有确定系数、确定方程、确定初始值的系统的解，其外表呈现出规则而有序的两翼蝴蝶形态，内在却包含了随机而无序的混沌过程的复杂结构。 当时，史上最伟大的气象员洛伦兹准确地将此现象表述为“确定性非周期流”，并由此断言：准确地做出长期天气预报是不可能的。因为气象预报的初始条件是由极不稳定的环球的大气流所决定的，这个初始条件的任何细微变化，都可能导致预报结果千差万别。 1963 年，这篇论文被发表在《大气科学》杂志上，洛伦兹形象地将这个结论称为蝴蝶效应：一只南美洲亚马孙河流域热带雨林中的蝴蝶，偶尔扇动几下翅膀，可以在两周以后引起美国得克萨斯州的一场龙卷风。 蝴蝶扇动翅膀却可以促使空气系统发生变化，并产生微弱的气流运动。而微弱气流的产生又会引起四周空气或其他系统产生相应的变化，由此引起一系列微妙连锁反应，最终导致系统的变化。 混沌的一个重要特征：系统的长期行为对初始条件的敏感依赖性，初值的微小差别会导致未来的混沌轨道的巨大差别。正如中国古人的智慧所言：“失之毫厘，谬以千里。” 此后，洛伦兹也因此被誉为“混沌理论之父”。 海岸线究竟有多长？ 找到一种描述不规则世界的法则 云朵不是球形的，山峦不是锥形的，海岸线不是圆形的，树皮不是光滑的，闪电也不是一条直线。 组成这个世界的大多数事物都是混沌的，纷繁而复杂，其整体或局部特征不是简单地用传统的欧式几何语言就可以表述的，处处显现着不可预测性。 当你到海边游玩时，你可曾想过是否能测出海岸线的长度？其实，你永远测不出它的长度。尽管维基百科告诉你：“中国有32000km 长的海岸线。”但从物理的角度来看，海岸线实际是不可测量的，最多只能说：中国海岸线“轮廓”的长度是多少千米。1940年，英国政府就曾试图对自己国土的海岸线长度进行测量，结果发现使用的度量尺寸越精确，得出的数据就越长，最后导致最新数据总与已有的任何数据差别很大。 所以，我们究竟要怎样去描述海岸线及这个世界的不规则？这个问题过去了很久都没有得到解决。 直到 1967 年，本华·曼德勃罗找到了混沌背后的法则 —— 分形。 在美国权威杂志《科学》上，本华·曼德勃罗发表了一篇题为“英国的海岸线到底有多长”的划时代论文，该文标志着分形萌芽的出现，证明了在一定意义上任何海岸线都是无限长的，因为海湾和半岛会显露出越来越小的子海湾和子半岛，如图 19-4 所示。  图 19-4 曼德勃罗“海岸线分形”示意图 曼德勃罗将这种部分与整体的某种相似称为自相似性，它是一种特殊的跨越不同尺度的对称性，意味着图案之中递归地套着图案。 事实上，具有自相似性的现象广泛存在于自然界中，这些现象包括连绵起伏的山川，自由飘浮的云彩，以及花菜、树冠，甚至人体的大脑皮层和各种器官。 这种现象最终被曼德勃罗抽象为分形，从而建立起了有关斑痕、麻点、破碎、缠绕、扭曲的几何学。这种几何学的维数可以不是整数，如英国的海岸线是 1.25 维的分形，众多山川地形的表面是 2.2 维的分形，洛伦兹吸引子的分形维数则在 2.06 左右。 更有意思的是，曼德勃罗发现从数学上来看，分形大多数是用非线性迭代法产生的，可由一个简单的非线性迭代公式描述：Z(n+1)=Z(n)^2+C。 式中，Z(n+1) 和 Z(n) 都是复变量 ，而 C 是复参数。对于某些参数值 C，迭代会在复平面上的某几点之间循环反复；而对另一些参数值 C，迭代结果却毫无规则可言。前一种参数值称为吸引子，后一种所对应的现象称为混沌，而所有吸引子构成的复平面子集则称为曼德勃罗集，如图 19-5 所示。  图 19-5 曼德勃罗集 由此，曼德勃罗曾经留下了迄今为止最奇异、魔幻的几何图形 —— 曼德勃罗集，史称“上帝的指纹”和“魔鬼的聚合物”。 透过它，人们惊叹地发现许多复杂瑰丽的图形背后原来都是由这么一个简单的图形所构成，都可由这么一个简单的非线性迭代公式来描述。 而混沌也并非纯粹的无序，其所呈现的无规行为或无秩序只是一种表面现象，若是深入它的内心，就能发现其深刻的规律性 —— 分形。 混沌的两面性 有序与无序的统一 我们把混沌和分形各自分开来看，前者俨如魔鬼，阻挠着人们对真理的探索，带来混乱与挑战；后者俨然是宇宙中的天使，为万物奠定秩序和生机。 但实际上，它们密不可分，混沌是时间上的分形，而分形是空间上的混沌。 它们共同组成了我们的混沌世界，体现着这个非线性系统的两个主要特性：初值敏感性和非规则的有序性。 南美洲亚马孙河流域的那只蝴蝶的行为虽然充满了随机不确定性，但它的内心同样遵循着秩序。美妙的洛伦兹吸引子，实际就是一个具有无穷结构的分形，它是混沌和分形的桥梁，提供了混沌从无序迈向有序的铁证。 所以，自然界实际既有规律又无规律，混沌理论神奇地将有序与无序统一在一起，将确定性与随机性统一在一起，深刻地为我们揭示了这个世界的本质；同时也使科学界长期对立、互不相容的两大体系 —— 决定论和概率论之间的鸿沟正在逐步消除。 20 世纪 90 年代，混沌理论开始走向应用阶段。虽然我们无法对系统的长期行为进行预测，但我们完全可以利用混沌的规律对系统进行短期的行为预测，这比传统的统计学方法有效。 如今，不管是在天气预报、股票市场、语言研究，还是工程技术、生物医药、计算机等领域，我们随处可见混沌理论的身影。例如，经济学家就建立了各种非线性方程模型来研究经济金融市场的各种运动，其中典型的有证券市场股价指数、汇率变化等。汇率不是由简单的确定性过程形成的，经济学家对汇率的不规则运动建模。经济学离不开各种假设，他们假设汇率以一种线性的方式回应决定性变量（自变量）的变化来建立各种模型进行分析，这是经济金融学中常见的线性回归分析，也是计量经济学中的主要内容，主流的认识是汇率运动由白噪声支配，潜在趋势是存在的，并且是随机误差的。 假定一个完全市场化的自由股票市场，它是一个非线性动力学系统，受到多种人为及非人为因素的影响，各因素间存在着大量的非线性相互作用。股市具有自相似性，其混沌系统出在现象、表层、形式上的无序，而在本质、深层、内容上是有序的。通过建立有关股票市场行为的非线性模型，混沌理论为理解股票市场的动态变化提供了新的方法论指导。 再如，混沌控制的最早成就之一是仅用卫星上遗留的极少量肼使一颗“死”卫星改变轨道，而与一颗小行星相碰撞。美国国家航空与航天管理局利用蝴蝶效应，“操纵”了这颗卫星围绕月球旋转五圈，每一圈用射出的少许肼将卫星轻推一下，最后实现了碰撞。 结语 世界的本质是混沌的 20 世纪初期，相对论和量子物理的发展打乱了经典力学建立的秩序。 相对论挑战了牛顿的绝对时空观，量子力学则质疑微观世界的因果律。 然而，直接挑战牛顿定律的，还要属南美洲的这只蝴蝶。 蝴蝶扇一扇翅膀，即刻在科学界刮起了一场飓风。相比起量子力学只揭示了微观世界的不可预测性，混沌理论在遵循牛顿定律的常规尺度下，就直指确定论系统本身也普遍具有内在的随机性。 这使拉普拉斯妖无处遁形，最终只能仓皇逃窜。 混沌理论也由此被誉为 20 世纪自然科学的重要发现。在此之后，人类进一步触及了世界的本质 —— 混沌，开始为无常的命运把脉，并且逐步掌握大自然的一把重要密钥。 好书推荐 Good Book Recommendation 北京大学出版社 《公式之美》  内容简介 人类发明数学公式，来描绘浩瀚宇宙和人生百态。世界的繁华秀丽，映衬出符号公式的简洁之美。爱因斯坦的质能方程和杨振宁的规范场，摸索出宇宙终极游戏的规则；费马大定理和欧拉恒等式，揭示出宇宙变化背后的数学世界；从凯利公式到贝叶斯定理，逐渐完全预测人类行为；蝴蝶效应的洛伦兹方程组和三体问题，则告诉我们数学的界限。 量子学派倾心打造《公式之美》，包含23个普遍、深刻、实用的公式，书写天才们探索自然和社会的辉煌历史。 作者简介 量子学派：是一个专注于自然科学领域（数理哲）的教育平台，其公众号 “量子学派”发布的自然科学类文章阅读量大都是10万+，全国十大科普教育平台。平台推出了一系列深受广大读者好评的课程，包括《数学之美》《逻辑之美》《理性之美》《科学之美》等。 |
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