【数学百草园】有趣的多边形的密铺

• 密铺

  密铺，即平面图形的镶嵌，用形状、大小完全相同的几种或几十种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，这就是平面图形的密铺，又称做平面图形的镶嵌。

正多边形的密铺

正六边形可以密铺，因为它的每个内角都是120°，在每个拼接点处恰好能容纳3个内角；正五边形不可以密铺，因为它的每个内角都是108度，而360°不是108的整数倍，在每个拼接点处的内角不能保证没空隙或重叠现象；除正三角形、正四边形和正六边形外，其它正多边形都不可以密铺平面。

我们都知道，铺地时要把地面铺满，地砖与瓷砖之间就能留有空隙。如果用的地砖是正方形，它的每个角都是直角，那么4个正方形拼在一起，在公共顶点处的4个角，正好拼成一个360度的周角。六边形的每个角都是120度， 3个正六边形拼在一起时，在公共顶点上的3个角度数的和正好也是360度。除了正方形、长方形以外，正三角形也能把地面密铺。因为正三角形的每个内角都是60度，6个正三角形拼在一起时，在公共顶点处的6个角的度数和正好是360度。

正因为正方形、正六边形拼合以后，在公共顶点上几个角度数的和正好是360度，这就保证了能把地面密铺，而且还比较美观。

因为只有正三角形、正方形、正六边形的内角的整数倍为360°，因此正多边形中仅此三者可以密铺。

圆形不能密铺，但正三角形和等腰梯形、直角梯形能密铺

可单独密铺的图形

1、任意三角形、任意凸四边形都可以密铺。

2、正三角形、正四边形、正六边形可以单独用于平移密铺。

3、三对对应边平行的六边形可以单独密铺。

4、仅发现十五类五边形能密铺。

五边形密铺

如图，这是五边形密铺的结构图，近期发现了新的可密铺五边形，即第十六种可密铺五边形。

能密铺的15种五边形

周期性密铺与非周期性密铺

周期性密铺

我们先从三角形（非退化）说起，
　　1.任何三角形都可以密铺整个平面。
　　证明：我们把2个三角形拼成一个平行四边形，然后将平行四边形上下叠放，从而密铺整个平面。
　　2.任何凸四边形（包括正方形，矩形）都可以密铺整个平面。
　　证明:
　　我们稍微思考一下，刚才三角形的方法只能推广到平行四边形。注意到四边形内角和为360，所以我们可以先把四个四边形对应不同的角拼在一起，使其拼满一个360度。

例图

　　如上图，不同颜色的角被集中到中央，接下来就是用四边形按照同样的不同四角补成360度的方式将周围补全

3.正五边形

密铺条证明：首先，假设能够密铺平面，考虑任何一个正五边形，以下情况不会出现：

否则在如图边与顶点交汇处的一部分，不能放入另一个正五边形铺满。

所以如果能铺满，应该是边对边，点对点，但是我们来思考一下某一个顶点，

？号处依假设还能放入若干个正五边形密铺，和2类似，应该也是围成360度角，但？处角度为

360-108-108=144度，铺一个还有余，两个就放不下，导出了矛盾。

4.正六边形

证明：显然。

5.正n边形中，只有正三角形，正方形，正6边形能密铺平面，其余正n边形不能做到。

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