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一本小册子，是英国数学家哈代于上个世纪二战期间写下的一篇文章。 此人的天赋可比图灵，但却比图灵幸运很多。自13岁就得以进入温彻斯特学院学习，确立了数学家的职业生涯。 他所处的和谐环境和所受完整的教育，造就了他更加完善的知识结构和人格——这篇文章看上去不像是一个数学家写出来的，其文辞优美和对文史的谙熟，展现出了哈代广博的学识修养和知识储备。 哈代在这个小册子里试图阐释他对于数学的美，数学的意义和重要性的理解，有趣的是，他的好友科学家斯诺为此书作序，序言比正文还长，换句话说，哈代对斯诺的启示之大。
G.H.哈代 哈代撰写此书的一个主要目的，是他认为数学的原创性和数学思想的拓展，必须在一个人年轻力壮时抓紧进行，一旦上了年纪，所有的数学能力都会退化消失。 他想借当时他的脑子还比较活跃的时候，把自己对数学的深刻理解留给世人，促成下一代人对数学思想的开发。 哈代是一个追求纯粹的人，在开篇他就说了这么一个有趣的观点——杰出人物的人格与志向。他认为人确实有至少两个自我，一个是类似本我概念的我自己，一个是类似超我概念的道德自我。 很多杰出人物，如爱因斯坦、维特根斯坦、图灵、克伦威尔、拿破仑等，在道德自我方面发展得很迟缓，在他们人生早期阶段，人格上的本我一支独大，远远超过了道德自我的发展。 因此，他们在特定领域持续积累超强的能量，成为杰出的一面；同时，由于道德自我发展迟缓，又落后于其他人，因而在人际社交领域会展现出特立独行的一面。 数学家尤其如此，数学家相比其他领域的杰出人物，更容易沉浸在数学这个绝对纯净的世界里，其诱惑力不亚于鸦片对瘾君子的吸引，数学家的道德人格特别容易受到压制——同时期另一个杰出的例子就是纳什（电影美丽心灵里那位）。 另一个就是志向，这一点他与曾文正公说法一致——志向是一个人能否成事的首要个性因素。 不论是成吉思汗、阿提拉还是拿破仑，其才华不说，其个人的志向，或者更直接一点——野心，是导致他们不甘于平庸转而崛起的根本因素。 志向也是多样的，有的人想做人上人，有的人想劫掠，有的人想攻城略地，有的人则想在天地之间建立一个理想世界。数学家与哲学家们一样，他们的野心更大，试图提供一种解释一切的解释——关于万物的理论。 关于数学的美，哈代认为，那就是要数学最没有用的部分，越有用，就越不美，真正的美一定与实际没有任何联系。 比如数学中的纯数学即数论，他认为数论保持住了一种我们平常所理解的“中庸”状态，即无用的数学，才不会被滥用，不滥用就不会导致伤害。 我学生时代数学一直是不太好，对数学思想却一直着迷，为数不多的稍微体会到数学的纯粹之美的个人经验，一是早年读笛卡尔的沉思集时，看到笛卡尔用简单的几何学方法论证上帝的存在，惊人地简单适用，这在之前的读书随笔中介绍过。 二是当年读费恩物理学讲义时，看到了一段费恩对牛顿的万有引力公式推导过程的解析，展示牛顿如何运用微积分方法，加上无穷的想象力，推导出万有引力公式，大概就是两页的篇幅，看得如痴如醉，第一次感受到自己掌握的基础数学知识，能够达穷天际的那种感觉。 三是相对论因子的推导，因为之前读过相对论相关书籍，留有印象，某一天与朋友谈及相对论，突发奇想看看能否推导出来相对论因子，即不同速度物体之间时间的差异性，我隐约记得可以用勾股定理推导，尝试着推导了一下，结果就是那么简单，很快就从最简单的勾股定理推导出了相对论因子式。
四是研习乐理时，先从三度音、五度音的任意和弦编排和转位开始，直到尝试读懂巴赫的哥德堡变奏曲里对位法和赋格，真切感受到数列、级数与音阶和赋格之间严丝合缝的关系，意识到音乐不过就是数学在键盘上的位置化体现。 对于纯数学和应用数学的区分，也属于非常粗糙且不具数学思想的区分，哈代认为数学的分支应当按照潜在概念的创造性、思想深度和美感来决定。 数论之所以能具备他所说的无用性和中庸性，就在于构成数论的潜在概念比其他数学分支要深刻和优雅。 在哈代看来，到了纯数学阶段，数学家与画家、音乐家等艺术家是一样的，都凭借直觉、形象思维来进行模式的创造，只有不断创新的数学，才是数学本身。 关于数学的真理性，这一点是数学最令人着迷的地方。从欧几里得来讲，几条人为定义的公理，能够建造起一个庞大几何体系，且这个体系至今还在人类改造宏观世界的过程中得到充分应用——把公理改变一下，变成黎曼几何，又是另一个庞大体系，这个庞大体系就可以运用到微观及宇宙领域。 哈代说，巴比伦和亚述以及它们的文字都衰亡了，汉莫拉比、萨尔贡和尼布甲尼撒都成了空洞的名词，但巴比伦的六十进制，至今仍然在天文学中应用。 当然，哈代说的数学之真理性，与我们在政治上的真理性不是一回事，数学之真理性超越了各个时代各个地域所谓的政治真理。 关于数学的意义。从上述逻辑看下来，我们应该都可以明白哈代所谓的数学的意义或重要性，绝不是指应用数学给了我们多少帮助，在改造世界过程中多么有用。 这种有用性，诚如哈代所说的，一定要规避，很简单——你说数学有用，有利，那么马上就会联想到枪炮、炸弹、原子弹这类用于杀人的大规模武器——只要有用，就一定会有伤害，所以必须是无用，才能中庸。 哈代所说的数学的意义，在于一种数学概念或者数学模式的发生，能够引发更多有意义的想法，能够联系起很多之前看起来不相关领域的知识。 这种意义，仍然是理论意义上的。从这个角度，哈代把数学领域诸多定理和概念做了一个区分，这个区分可以看出，哪些数学概念、定理和模式是更加优雅，更加重要的。
拉马努金 题外话就是哈代与拉马努金。拉马努金是印度人，出身贫寒，数学天赋高到让人畏惧的地步——他纯靠用树枝在沙地上写写划划，就独自推导出了从初等数学到高等数学诸多领域的定理和公式，相当于独自把过去两千年的数学发展路子走了一遍。 1913年，他边打工边看杂志，了解到了哈代的威名，于是把他对素数分布的研究，以及自己推导的多个数学领域的多达120个公式的论证，寄给了哈代。哈代尤是确信拉马努金是个不世出的奇才，立刻付费邀请拉马努金到剑桥。 哈代实际上把拉马努金作为一个对象来研究，他吃惊地发现，拉马努金数学知识的局限性与深奥性同时存在。 因为没有受过教育，拉马努金对于什么是证明，以及很基本初等的数学知识都不知道，但却对级数，发散级数和积分，黎曼函数等特殊数学有极为高深的理解。 拉马努金完全是凭借直觉和推理能力来工作的。哈代的主要工作，反而变成帮拉马努金补初级课程，接下来拉马努金5年内连续发表21篇论文，17篇综述，一下子把素数分布、堆垒数论、广义超几何级数、椭圆函数都推进了一大步。 天才都弱，拉马努金不久又因肺结核病去世了，年仅33岁。 哈代正是从拉马努金的神奇能力上窥见到了一些数学的神秘领域。他痛惜拉马努金的去世，也同样痛惜自己创造力的消退。 Here, on the level sand, Between the sea and land, What shall I build or write Against the fall of night? |
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