【原】人教版七年级数学（上）知识点总结

第一章 有理数

有理数三级运算，即加减、乘除、乘方和开方

1.1正数和负数

以前学过的0以外的数前面加上负号“-”的书叫做负数。

以前学过的0以外的数叫做正数。

0既不是正数也不是负数，0是正数与负数的分界。

因此，也可以说大于零的数是正数，小于零的数是负数；0既不是正数也不是负数。

1.2有理数

1.2.1有理数

正整数、0、负整数统称整数(integer)。---整数可以按正负0进一步细分

正分数和负分数统称分数(fraction)。（小数可以用分数来表示）--分数可按正负进一步细分

整数和分数统称有理数(rational number)。

1.2.2数轴

1）数轴是规定了原点、正方向、单位长度的一条直线.。数轴三要素：原点（0）、正方向、单位长度。

2）无论正负，整数、分数或小数都可以用数轴上的点表示。

3）在直线上任取一个点表示数0，这个点叫做原点(origin)。

1.2.3相反数

1）只有符号不同的两个数叫做互为相反数(opposite number)。例如2的相反数是-2，0的相反数是0 。

2）在任意一个数前面填上“-”号，新的数就表示原数的相反数。

1.2.4绝对值

1）数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值(absolute value),记作|a|。 这里的数a，可以是正数、负数和0-----只论正负0，未限制它的形态哦，也就是说整数、分数都可，即有理数都适用于这个定义。

2）一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0.

3）正数大于0,0大于负数，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小。

1.3 有理数的加减法

1.3.1有理数的加法

1.有理数加法法则

1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。

2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。

3）互为相反数的两个数相加得0。

4）一个数同0相加，仍得这个数。

2.加法交换律

在有理数的加法中，两个数相加，交换加数的位置，和不变。a+b=b+a

3. 加法结合律

有理数的加法中，三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。(a+b)+c=a+(b+c)

1.3.2有理数的减法

有理数减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数。

a-b=a+(-b)，-b+a=a-b

1.4有理数的乘除法

1.4.1有理数的乘法

1.有理数乘法法则

1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。要得到一个数的相反数，只要将它乘以-1。

2）任何数同0相乘，都得0。

3）乘积是1的两个数互为倒数。

4）几个不是0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积是正数；负因数的个数是奇数时，积是负数。---负负得正

2.乘法交换律

两个数相乘，交换因数的位置，积相等。ab=ba

3.乘法结合律

两个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等。(ab)c=a(bc)

4. 乘法分配律

一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加。a(b+c)=ab+ac

1.4.2有理数的除法

1. 有理数除法法则

1）除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。分数可以理解为分子除以分母。

2）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。

3）0除以任何一个不等于0的数，都得0。

0，不能做分母！

2. 有理数混合运算顺序

有理数的加减乘除混合运算，如无括号指出先做什么运算，则与小学所学的混合运算一样，按照“先乘除，后加减”的顺序进行。

1）括号最优先

2）乘除法，从左往右按顺序计算

3）最后算加减

4）0不能做分母

1.5有理数的乘方

1.5.1乘方

1.基本概念

求n个相同因数的积的运算，叫乘方，乘方的结果叫幂（power）。在a的n次方中，a叫做底数(base number)，n叫做指数（exponent）。当aⁿ看作a的n次方的结果时，也可读作“a的n次幂”。

2.规律

aⁿ=a*a*a*a……aⁿ

an表示n个a相乘，所以可以利用有理数的乘法运算来进行有理数的乘方运算。

负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。

正数的任何次幂都是正数，0的任何正整数次幂都是0。

3.有理数混合运算的运算顺序

⑴先乘方，再乘除，最后加减;

⑵同级运算，从左到右进行;

⑶如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行

1.5.2科学计数法

1.定义

1）把一个大于10的数表示成a×10ⁿ的形式(其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数)，使用的是科学记数法。

2）系数的条件：1<=a<10；指数的条件：n，正整数

3）用科学记数法表示一个n位整数，其中10的指数是n-1。

比如，3500000000=3.5*10⁹

2.吐槽

其实，写那么多0太麻烦了而且占据纸张，所以，给发明了个简便表示方法。以10为底数，是因为好记、通用。

1.5.3近似数和有效数字

1. 近似数

一个近似数，四舍五入到那一位，就说这个近似数的精确到那一位。

精确到个位，保留0位小数

十分位，0.1，保留1位小数

百分位，0.01，保留2位小数

千分位，0.001，保留3位小数。

2.有效数字

从一个数的左边第一个非0 数字起，到末位数字止，所有数字都是这个数的有效数字。

对于用科学记数法表示的数a×10ⁿ，规定它的有效数字就是a中的有效数字。

第二章 整式的加减

从这里开始，就是代数的基础知识了。加了2.0代数式的基础知识

2.0代数式

1、代数式：用运算符号“＋ － × ÷  …… ”连接数及表示数的字母的式子称为代数式。

注意：用字母表示数有一定的限制，首先字母所取得数应保证它所在的式子有意义，其次字母所取得数还应使实际生活或生产有意义；单独一个数或一个字母也是代数式。

2、列代数式的几个注意事项：

（1）数与字母相乘，或字母与字母相乘通常使用“· ” 乘，或省略不写。

（2）数与数相乘，仍应使用“×”乘，不用“· ”乘，也不能省略乘号。

（3）数与字母相乘时，一般在结果中把数写在字母前面，如a×5应写成5a。

（4）在代数式中出现除法运算时，一般用分数线将被除式和除式联系，如3÷a写成的形式；

（5）a与b的差写作a-b，要注意字母顺序；若只说两数的差，当分别设两数为a、b时，则应分类，写做a-b和b-a .

3、几个重要的代数式：

（1）a与b的平方差是：a²-b²； a与b差的平方是：（a-b）²。

（2）若a、b、c是正整数，则两位整数是：10a+b；则三位整数是：100a+10b+c。

（3）若m、n是整数，则被5除商m余n的数是：5m+n；偶数是：2n，奇数是：2n+1；三个连续整数是：n-1、n、n+1。

2.1整式

1.单项式

1）定义

在代数式中，若只含有乘法（包括乘方）运算。或虽含有除法运算，但除式中不含字母的一类代数式叫项式。

3）单项式的系数与次数

单项式中不为零的数字因数，叫单项式的数字系数，简称单项式的系数；系数不为零时，单项式中所有字母指数的和，叫单项式的次数。

100t，a²h，-n，系数分别为100,1,-1

100t，字母t的指数是1，所以100t的次数是1，叫1次单项式

a²h，字母a与h的指数和是3，所以a²h的次数是3，叫3次单项式

2.多项式

1）定义

几个单项式的和叫多项式。

2）多项式的项数与次数

多项式中所含单项式的个数就是多项式的项数，每个单项式叫多项式的项；

多项式里，次数最高项的次数叫多项式的次数；注意：（若a、b、c、p、q是常数）ax²+bx+c和x²+px+q是常见的两个二次三项式。

单项式与多项式，统称整式。

2.2整式的加减

同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的单项式是同类项。

合并同类项法则：系数相加，字母与字母的指数不变。

去（添）括号法则：去（添）括号时，若括号前边是“+”号，括号里的各项都不变号；若括号前边是“-”号，括号里的各项都要变号。

整式加减运算实质：实际上是在去括号的基础上，把多项式的同类项合并。

整式加减运算法则：一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项。

第三章 一元一次方程

方程是含有未知数的等式。它是应用广泛的数学工具。人们经常用字母表示其中的未知数，通过分析数量关系，列出方程表示相等关系，然后解方程求出未知数。

3.1从算式到方程

3.1.1一元一次方程

1.定义

方程都只含有一个未知数（元）x，未知数x的指数都是1（次），这样的方程叫做一元一次方程(linear equation with one unknown)。

解方程就是求出使方程中等号左右两边相等的未知数的值，这个值就是方程的解(solution)。

3.1.2等式的性质

背等式的性质，是为了求出方程的解。

1.等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。

2.等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。

3.2解一元一次方程（一）

合并同类项与移项

利用等式的性质（见3.1.2）可以解简单的方程。本节重点是如利用“合并同类项”和“移项”解一元一次方程。

合并同类项：之前已学过。

移项：把等式一边的某项变号后移到另一边，叫做移项。

3.3解一元一次方程（二）

去括号与去分母

3.4实际问题与一元一次方程

配套的物品之间具有一定的数量关系，作为列方程的依据。

常常把工作总量看作1，利用实际问题中的相等关系“工作量=人均效率*人数*时间”“路程=速度*时间”来列等式。

第四章 几何图形初步

几何起源，与建筑密切相关~~几何，是研究图形的形状、大小和位置关系的一门学科。

本章主要内容：直线、线段、角等最基本的几何图形性质。为以后学习复杂几何做准备。

4.1几何图形

举例：军博、鸟巢、住宅，立交桥、交通标志、城市雕塑，自然界形态各异的动物、植物、微生物……

形状：方的、圆的

大小：长度、面积、体积、容积

位置关系：相交、垂直、平行

4.1.1立体图形与平面图形

1.定义

1）有些几何图形，比如长方体、立方体、圆柱、圆锥、棱柱、棱锥、球等，各部分不都在同一平面内，他们是立体图形。

2）有些几何图形，比如线段、角、三角形、长方形、圆等，各部分都在同一平面内，他们是平面图形。

3）二者关系：对于一些立体图形的问题，常把它们转化为平面图形来研究处理。虽然立体图形与平面图形是两类不同的几何图形，但它们是互相联系的。立体图形中某些部分是平面图形，例如长方体的侧面是长方形。

从不同方向看立体图形，往往会得到不同形状的平面图形。---视角。

4）展开图：有些立体图形是由一些平面图形未成的，将它们的表面适当剪开，可以展开成平面图形，这样的平面图形称为相应立体图形的展开图。

4.1.2点、线、面、体

定义：

几何体也简称体(solid)。

包围着体的是面（surface）。

几何图形都是由点、线、面、体组成的，点是构成图形的基本元素。

以下，理解：

点动，成线----笔尖，动，画线

线动，成面----雨刷，刷，扇形

面动，成体----长方形硬纸片，绕一边旋转，圆柱体。

4.2直线、射线、线段

1.经过两点有一条直线，并且只有一条直线。

即，两点确定一条直线。

2.两点的所有连线中，线段最短。即，两点之间，线段最短。连接两点间的线段的长度，叫作这两点的距离（distance）。

3.当两条不同的直线有一个公共点时，我们就称这两条直线相交（intersection），这个公共点叫作他们的交点（point of intersection）。

4.射线和线段都是直线的一部分。

5.字母表示线段：线段AB（或线段BA），其中点A、点B是线段的端点。

6.字母表示射线：射线OA，其中O是射线的端点。

7.点M把线段AB分成相等的两条线段AM与MB，则点A叫作线段AB的中电（midpoint）。类似的，还有线段的三等分点（两个）、四等分点（三个）。

4.3角

4.3.1角

量角器，度、分、秒，进制60度。角度制，起源于古巴比伦。

1度=60分 1分=60秒 1周角=360度 1平角=180度

4.3.2角的比较与运算

1.量角器

2.一边折叠，比较另一边的位置

3.角的平分线（1条）、三等分线（2条）-----出题，数角的多少

4.3.3余角

如果两个角的和等于90度，就说这两个角互为余角，简称为两个角互余。

如果两个角的和等于180度，就说这两个角互为补角，简称为两个角互补。

关于余角的一个性质：同角（等角）的余角相等

关于补角的一个性质：同角（等角）的补角相等

4.4课题学习

设计制作长方体形状的包装纸盒

目的：培养立体感、空间想象力~