【转】《趣味代数学》小站的位置

【题目】有一个村庄（即点B）坐落于一段笔直的铁路一侧（图22），距离铁路20千米，如果我们想从A点到达村庄B，时间最短的走法是先从A点坐火车到C点的小站，再从C点乘汽车到B点的村庄。请你判断一下C点应该设于什么位置。已知火车速度为0.8千米/分钟，汽车速度为0.2千米/分钟。

图22　该在哪里建小站

【解题】由点B向铁路引垂线，使其与铁路相交于点D。设AD=a, CD=x，则：

火车走完AC所用时间的表达式为：。

汽车走完CB所用时间的表达式为：。

则从A点到B所用的总时间m为：，即：

将该方程变形可得：。

方程两边同时乘以0.8，得到：。

使，上式可变形为：。

分别计算两边平方去掉根号，并变形为：。

解方程可得：。

根据可知，当m的值最小时，k的值也达到最小，反过来也一样[10]。但x显然必须是实数，因此16k2的值不能小于96000。换个说法就是，96000是16k2的最小值，所以当16k2=96000时，m值最小。则：

可见，无论a（即AD）的值为多少，小站C都应该设置在距离点D大约5千米的位置。

需要注意的是，我们在列出本题方程的时候，默认a-x的值是一个正数，也就是说，我们求出这个解的前提是x＜a。

假如x=a（即CD=AD），或者x>a，那么这个小站就根本没有存在的意义，因为到达那里并不需要计算什么最短距离，只管开着汽车直接去就可以了。

这一次我们没有盲目依赖方程的预见性，而是用理性的分析占得先机。如果我们不加分辨地相信方程，在x=a或者x＞a的情况下，仍旧会愚蠢地去建一个小站，这会怎么样呢？例如在x＞a的情况下，沿铁路走的时间无疑是一个负数，这简直太荒谬了。

因此，在利用数学方法解题的时候，一定要慎重对待求得的结果。

如果你所使用的数学方法没有真实存在的依据，那么求得的结果也会是毫无意义的。（俄.别莱利曼）