【原】第10期 / 用补形法求三棱锥外接球问题

注：记录一个精彩的数学问题，顺便研究下如何在公众号输入数学公式

直棱柱外接球球心在其上下底面外接圆圆心连线的中点，球半径，可以在中求得.

上述方法也称为“汉堡模型”.

如上图所示，如果一个三棱锥有三条棱两两垂直，可以将其补形为一个长方体，此时三棱锥的外接球等价于该长方体的外接球.设长方体长宽高分别为，那么球半径.

上述方法也称为“墙角模型”.

例1. 某几何体的三视图如下图所示，三视图是腰长为1的等腰直角三角形，和边长为1的正方形，则该几何体外接球的体积为_______.

解析：几何体的直观图如下图所示

三棱锥外接球等价于棱长为1的正方体的外接球，所以球直径.

例2. 已知三棱锥中，底面是边长为3的等边三角形，平面，. 求此三棱锥外接球表面积.

解析：如图，可以将三棱锥补形为一个正三棱柱，可转化为“汉堡模型”.

外接球球心在上下底面中心连线的中点，半径..

在等边中.故半径.

球.

“补形法”求三棱锥外接球问题，体现了“转化与化归”思想。并不是所有三棱锥外接球问题都适合用“补形法”求解，所以，要求学生对三棱锥的结构特征观察要到位，谨慎使用。