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外接球、内切球   1 几何体外接球 有四类几何体是可以套“模型”的，你知道有哪四类吗？ 01 正方体模型 让正方体的八个顶点同时落在一个球面上的效果如下图。  球心在体对角线的中点上 外接球的直径=正方体体对角线 正四面体——套用“正方体模型” 正四面体（四个面都是正三角形的三棱锥/各个棱都相等），它本质可以由正方体切割出来的。切割的效果如上图，即将面对角线依次相连。  正四面体外接球=补成的正方体外接  02 长方体模型 让长方体的八个顶点同时落在一个球面上的效果如下图。  球心在体对角线中点上 外接球的直径=长方体体对角线  墙角锥——套用“长方体模型” 墙角锥（三个侧棱互相垂直），它本质可以由长方体切割出来的。切割的效果如下图。  墙角锥的外接球=补成长方体的外接球  对棱相等的三棱锥——套用“长方体模型” 三棱锥中的对棱指不共点的两个棱（例AC,BD），它本质可以由长方体切割出来的。切割的效果如下图，即从上下面中各取两个面对角线，且异面不平行，然后这四个点两两连线即可。  对棱等的三棱锥外接球=补成长方体外接球 03 圆柱模型 让圆柱的上下面的圆圈同时落在一个球面上的效果如下图。 球心在圆柱的旋转轴中点上 外接球半径=以半高、底面圆半径为直角三角形斜边长 直棱柱——套用“圆柱模型” 直棱锥（侧棱和底面垂直的棱锥） 直三棱柱外接球=以上下面外接圆圆柱外接球 侧棱与底面垂直的锥——套用“圆柱模型” 即存在一条侧棱垂直于底面的锥 侧棱与底面垂直的锥的外接球=以下圆外接圆为上下底面的圆柱外接球 三角形面垂直举行面的锥——套用“圆柱模型” 如上图所示的锥 可以补成（躺着的）三棱柱（ABC为底面） 04 圆锥模型 让上顶点和底面的圆圈同时落在一个球面上的效果如下图。 圆心在圆锥的旋转轴上 外接球半径=以“锥的高—外接球半径”和底面外接圆半径构成的直角三角形的斜边 顶点在底面的投影为底面外接圆圆心——套用“圆锥模型” 顶点落在底面的投影为底面外接圆圆心的圆锥的外接球=将底面补成外接圆的锥的外接球 看完以上模型，心中一阵狂喜，但我弱弱的问一句，刚才提到的平面图形的外接圆。。。初中知识，大家还会吗？ 【通解方法】 下面分享下常见图形的外接圆半径： 正三角形外接圆圆心在中线3等分点 （近底边） 直角三角形外接圆圆心在斜边中点上 30°，30°，120°三角形外接圆圆心在底边的中线加倍上 不属于以上模型怎么办呢？只能“手动”找圆心和半径了，先心疼自己3秒。 在三棱锥P-ABC中，PA=PB=AC=BC=2, AB=2倍根3，PC=1，则三棱锥P-ABC外接球的体积为 方法：利用空间建系法求解 step1:找底面三个点共圆的圆心。 （四个点共球，不好找球心。所以先降维，找底面三个点共圆的圆心，球心一定在过圆心且垂直于底面的高线上。） step2:建立空间直角坐标系，求解A、B、C、P坐标，并依据O'位置设O坐标。 step3:列方程求解O的位置及外接球半径。 2 几何体的内切球 常见的几何体——棱锥，如何求内切球？ 利用“切割思想”解决棱锥的内切球问题 比如：上图三棱锥的P-ABC的内切球半径 step1:将三棱锥的体积以内切球球心为顶点，四个点连线，可切割成4个不同底但等高（都是内切球半径r为高）的棱锥。 step2:利用体积和不变列恒等式。 step3:反解内切球半径r。 下次可以直接利用公式求解内切球半径了！ 外接球 内切球蕾蕾老师讲完了，学会了吗？如果有什么特别想学的知识或者技巧，可以在下面留言哦！ |
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