外接球与内切球（理）

1.掌握球体的表面积与体积的计算公式，会利用相应公式求解球体的表面积与体积的计算；

2.掌握圆柱体与圆锥的外接球，并学会在圆柱和圆锥体的外接球延伸到柱体以及锥体的外接球，理解与掌握多面体外接球的计算原理；

3.掌握多面体的内切球的计算原理，学会利用相应公式求解多面体内切球的相关问题.

1.外接球

（1）侧棱垂直于底面的几何体的外接球.

①圆柱的外接球：如下图所示，在圆柱OO1 中，设圆柱的底面半径为 r，圆柱的高为h，

AB为圆柱底面圆的一条直径，AC是一条母线，则外接球的球心就是线段 AB的中点，设

球的半径为R，则（2r）^2+h^2=(2R）^2 ；

②直棱柱的外接球：可以将棱柱的外接圆柱OO1 作出来，则直棱柱的外接球可转化为外接

圆柱的外接球，设 r 为底面外接圆的半径，直棱柱的高为 h，外接球的半径为 R ，则

（2r）^2+h^2=(2R）^2 ，若直棱柱为直三棱柱，其底面外接圆的直径可以通过正弦定理进行求解；

③直棱锥的外接球：如下图所示，可将直棱锥的外接直棱柱作出来，再可将其外接圆柱作出

来，设 r为底面外接圆的半径，直棱柱的高为h，外接球的半径为R，则（2r）^2+h^2=(2R）^2 ;

④有一个侧面垂直于底面的棱锥的外接球：如下图所示，三棱锥 P-ABC中，侧面 PAC⊥底面 ABC，可在平面PAC内作 AS垂直于 AC交△PAC的外接圆于点 S，则三棱锥P-ABC的外接球与三棱锥 S-ABC的外接球为同一个球，设△PAC的外接球的半径为r'，则

 设 △ABC 的外接圆半径为 r ，外接球的半径为 R ，则

（2r）^2+(SA)^2=(2R)^2

⑤长方体的外接球：设长方体的长、宽、高分别为 x、 y、 z，则长方体的体对角线为长方

体外接球的一条直径，设外接球的半径为(2R)^2=x^2 +y^2+z^2 ；

⑥对棱相等的三棱锥：如下图所示，在三棱锥 A-BCD中，AB=CD，AC=BD，AD=

BC，可作三棱锥 A-BCD的外接长方体，设长方体的长宽高分别为 x、y 、z，外接球的

半径为 R，则 AB^2=x^2+z^2 ， AC^2 =x^2+y^2 ， AD^2=y^2+z^2 ，则 (2R)^2 =x^2+y^2+z^2=(AB^2 + AC^ 2 + AD^2)/2

，也就是说，对棱相等的三棱锥的外接球的直径的平方等于该三棱锥

任意一个点出发的三条棱的平方和的一半；

⑦特殊三棱锥的外接球：三棱锥A-BCD中，J∠BAC=∠BDC=90°，则棱 BC 即为其外

接球的直径，棱 BC的中点为外接球的球心.

（2）侧棱相等的锥体的外接球

①圆锥的外接球：半圆O中， AD为半圆O的直径， B为半圆O上异于点 A、D的一点，

将半圆O绕着直径 AD旋转一周，得到两个圆锥拼接的几何体内接于球O，设球O的半径

为 R，在直角△ABD中，由射影定理可得 AD=AB^2/AE，在圆锥 AE中，对应的有： 2R=

母线^2/高，若圆锥的高未知，圆锥底面圆的半径为 r，则圆锥的高=根号下（母线^2-r^2) 求得；

②侧棱相等的棱锥的外接球：对于侧棱相等的棱锥，可作其外接圆锥，则此棱锥的外接球和

其外接圆锥的外接球是同一个球，设外接球的半径为 R，棱锥的侧棱长为 l，高为h，底面

的外接圆的半径为 r，则 h=根号( l^2-r^2 )， 2R=l^2/h=l^2/根号（l^2-r^2）.

（3）一般多面体的外接球：对于一般多面体的外接球，可以建立空间直角坐标系，设球心

坐标为(x,y,z)，利用球心到各顶点的距离相等建立方程组，解出球心坐标，从而得到球的半径长.

2.多面体的内切球：对于多面体的外接球，设其内切球的球心为O，连接多面体各顶点与球心的连线，将多面体分割为若干个棱锥，多面体各个面的面积分别为 S1 、 S2 、 S3 、 、

Sn，

内切球的半径为 r，球心O到各个面的距离均为 r，设多面体的体积为V ，多面体的表面积1 1 1 1 1 1

为 S，则V=1/3 rS1+1/3 rS2+1/3 rS3+1/3rSn=1/3 r( S1+S2+S3+Sn)=1/3rS ，于是可

得 r =3V/S，对于柱体（圆柱或直棱柱）的内切球，还应该分析出柱体的高等于内切球的直

径.

附注：设球的半径为 R，其表面积为 S=4πR^2 ，体积为V=4/3πR^3 .