分享一道优质的导数压轴题 零点个数

已知函数求正实数
（2）证明:

（3）若
的最小值为,试判断方程实数根的个数，并说明理由.

解（1）:由于,所以,
当时，
当时，因为
显然上单调递增，其中
若,即时，则在上递减，满足题意
若时，由于0' data-formula-type='inline-equation'>
故存在,使得
在上
此时不成立
综上：的取值范围是.
（2）由（1）知时，时，
取,其中
则
即
所以

即

原式得证.
（3）由题知
则
显然在上单调递增
其中
0' data-formula-type='inline-equation'>
故在上存在使得
即,所以
且在上
在上0,g(x)单调递增' data-formula-type='inline-equation'>
所以的最小值为:
由于,所以
此时
又的最小值为,所以
设,则只需讨论实根个数

因为
显然在上单调递增
其中
0' data-formula-type='inline-equation'>
故在上存在,使得
即,即
此时,
又
易知在上单调递增
所以

且在上单调递减
在上0,h(x)单调递增' data-formula-type='inline-equation'>
所以




则
所以有一个实数根.