三角形面积 - 旋转、费马点，构造直角三角形轻松求解

感谢一位网友的批评指正，之前写的题目未写完还有瑕疵。

【分析】

△ABC是等边三角形，三边长相等，三内角都是60度。

但因为已知条件没有给出边长，无法直接求出△ABC的面积。

仔细观察已知条件，PA，PB，PC正好是勾股平方数关系。如果能放到一个直角三角形中，就完美了。

p点不是三心之一（内心，垂心，重心），相关定义定理无法直接应用。

因三边相等，旋转后，边会重合，因此考虑旋转思路。

【求解】

将△ABP逆时针绕点B旋转，使得AB与BC重合，

则BP'=BP，CP'=AP，∠CBP'=∠ABP

∵ ∠ABP+∠PBC=60° , ∴ ∠PBP'=60°

又∵BP'=BP，所以△BPP'是正三角形，所以PP'=BP=4，

在△PP'C中，PP'=4，P'C=3，PC=5，正好构成直角三角形勾股数

所以△PP'C是直角三角形。

过点B做BE垂直CP' 的延长线，垂足为点E，

则∠BP'E=180°-∠BP'P-∠CP'P=180°-60°-90°=30°

在Rt△BP'E中，BP'=4,

BE=2，EP'=2√3

在Rt△BEC中，EC=EP'+CP’=2√3+3

由勾股定理可求得BC²=BE²+EC² = 25+12√3

等边△ABC的边长已知，其面积用三角形面积通用公式可轻松求得

S△= (BC²*sin60°)/2 = (36+25√3)/4

【小结】

费马点问题中，通过旋转构造等边三角形，是常用的解题手段。