《算术基础》作为集合的数

§28．一些著作家把数解释为集合，多或众多。这种解释方式的一种弊病在于从这个概念中排除了0和1这两个数。上述表达是很不确定的：有时它们更接近“堆”、“群”、“聚集”的意谓（这些词使人想到的是一种空间聚合），有时它们的用法几乎与“数”有相同的意谓，只是更不确定。因此在这样一种解释中无法得到对数这个概念的分析。为了构造数，托迈（Thomae）^[16]要求对不同的实物集合给予不同的命名。这显然意谓着要更严格地规定那些其命名仅仅是外在符号的实物集合。现在的问题是，这种规定属于哪一类？如果人们想引入一些无法辨认其共同成分的名字来替代“3颗星”、“3根手指”、“7颗星”，那么显然不会形成数这个观念。重要的不在于终究给以命名，而在于自身表明数是什么。为此就必须根据数的独特性认识到数。

还应该注意下面的差异。一些人称数为事物或对象的集合；另一些人像欧几里得^[17]那样，把数解释为一种单位集合。这种表达需要专门讨论。（G.弗雷格）

【注释】

[1]鲍曼，同上书，第1卷，第475页。

[2]《复数系统理论》（Theorie dercomplexen Zahlensysteme）。

[3]康托尔：《基础算术的基本特征》（Grundzüge einer Elementararithmetik，S.2，§4.）。利普希兹也有类似看法，参见《数学分析教程》（Lehrbuch derAnalysis，Bonn 1877.S.1）。

[4]《算数和代数教程》（Lehrbuch der Arithmetik und Algebra，Leipz.1873，S.b，10u.11.）。

[5]同上书，第3卷，第24章，§5。

[6]同上书，第3卷，第24章，§5。

[7]鲍曼，同上书，第1卷，第409页。

[8]艾本达，第2卷，第2页。

[9]艾本达，第2卷，第56页。

[10]同上书，第3卷，第24章，§5。

[11]更严格地说，还必须作如下补充：只要它们确实是一种现象。但是如果某人在德国有一匹马，在美国有一匹马（在其它地方没有马），那么他就有两匹马。然而这不构成现象，只有各匹马本身才能被称为现象。

[12]鲍曼，同上书，第2卷，第428页。

[13]《数学分析教程》（Lehrbuch der Analysis，S.1）。我认为，利普希兹是指一种内在过程。

[14]施罗埃密尔西：《代数分析手册》（Handbuch deralgebraischen Analysis，S.1）。

[15]人们也可提出反对意见说，如果这样，那么在出现同一个数时，必然总会表现出一个位置的同一个表象，这显然是错误的。如果他要把表象理解为一个客观观念，那么以下论述就会是不相关的；但是如果这样，位置表象和位置本身之间会有什么区别呢？
主观意义的表象是心理学联想规律与之有关的东西；它具有可感觉的、形象的性质。客观意义的表象属于逻辑，而且本质上是不可感觉的，尽管这个意谓一种客观表象的词也常常带有一种不是其意谓的主观表象。主观表象在不同的人常常可以得到不同的证明，而客观表象对所有人都是相同的。人们可以把客观表象分为对象和概念。为了避免混淆，我将只在主观意义上使用“表象”一词。由于康德把这两种意义与这个词结合在一起，他赋与他的学说一层非常主观的、唯心主义的色彩，使人们很难认识他的真正观点。这里做出的区别与心理学和逻辑之间的区别是同样有理由的。如果人们总是能够极其严格地把握它们之间的相互区别就好了！

[16]托迈：《分析函数基础理论》（Elementare Theorie der analytischen Funktionen，S.1）。

[17]《几何基础》开篇：〔单位是这样的东西，借助它，各个存在的事物被称为一。数是由一些单位构成的多。〕