高数问答55 正弦函数的麦克劳林公式

问题  正弦函数的麦克劳林公式可以写成

的形式吗，其中余项

答  可以，但不推荐这样写。

首先我们知道，在同济七版高数教材中正弦函数sinx的麦克劳林公式的余项为

其中.

但事实上，如果我们直接代入麦克劳林公式余项的计算式，直接就可以得到公式(1)也是正确的，它是的阶麦克劳林公式。

现在的问题就在于，上面的两个公式，或者具体地，两个形式的余项，哪一个要更优越一点呢?

其实如果我们注意到正弦函数是奇函数，那么它的麦克劳林公式中的偶次项的系数都是0，于是在(1)式中，因为次的系数为，我们完全可以视为麦克劳林公式已经展开到2m次，在这个基础上求余项,因此两个公式其实都算正确。

但是在我们估计截断误差时，用显然比要更加精确一些,这是因为(2)的精确度提高了一阶，因此一般地说(2)的误差要更小一些，所以我们教材中正弦函数的麦克劳林公式的余项一般都是写成(2)的形式。

相应地，正弦函数带有皮亚诺型余项的麦克劳林公式一般写成

即余项一般写成的形式，而不是的形式。

最后，类似地对于偶函数，希望大家也能多注意以下我上面提出的问题，得出较优的表达式。