《带电粒子的运动》--高考压轴题研究2

1. I. 带电粒子在电场中的运动

要解决带电粒子在电场力作用下的运动问题，首先要熟练掌握基本运动的特点。中学物理常见的基本运动有匀速直线运动、匀变速直线运动、平抛物体的运动或类平抛物体的运动、匀速圆周运动、简谐运动。高考压轴题中给出的问题在很多情况下，都是这些基本运动组合成多个过程的复合运动。解题时，一般可以按(1）力和运动的关系；(2）功和能的关系，这两条线索展开分析。注意这两条线索同样也适用于不均匀的电场，但对于不均匀的电场，粒子的运动过程中各个不同时刻的运动情况很难进行统一的定量表述，通常得靠动能定理或动量定理求解。

解后语：带电粒子（带电体）在电场中的运动，是一个综合电场力、电势能的问题，研究的方法与质点动力学相同，通常要综合力和运动关系与功能关系分析运动特点。本题第（1）问小球做平抛运动，破题自然从平抛运动规律着手；第（2）问小球则是在复合场运动，好在重力和电场力都是保守力，保守力做功与路径无关，抓住路径的几何关系，从功能角度破题较为方便。

1. II.带电粒子在有界磁场中的运动

通过改变磁场的分布区域，使'带电粒子在有边界磁场中运动'是电粒子运动问题中的一个难点。主要难在带电粒子进入设定的有界磁场后只运动一段圆弧就飞出了磁场边界，其轨迹不是完整的圆。这要求考生根据带电粒子运动的几何图形去寻找几何关系，然后应用数学工具和相应物理规律分析结合解决问题。解决这类问题的基本思路如下：

1.根据题设的条件，一找圆心，二画轨迹，三由几何关系求半径，四由圆心角求周期或时间。带电粒子在磁场中运动，要抓住圆的几何性质。难点往往出现在几何关系上。

2.运动时间的确定：关键是求出粒子在磁场中运动的轨迹圆弧所对的圆心角。解决这类问题的基本思路虽然较为明了，但由于具体条件、情况复杂，方法繁多，使得此类问题成为难点。

3.在很多情况下，带电粒子的运动是一种动态变化的问题，需要从中找到这种动态变化中的极限情况、临界条件。如果能运用轨迹圆的动态变化，就容易找到临界条件。一般会出现以下两种情况：
旋转圆：轨迹圆的半径不变，动态旋转找临界条件。当粒子从同一点以相同大小的速度沿不同的方向垂直射入磁场时，轨迹圆的半径相同，动态旋转轨迹圆，可以展现沿各种方向入射的粒子的轨迹圆情况，易于发现临界条件，也可能是入射点在不同位置，但出射点固定。此情形类似磁聚焦与此发散的关系。（可以参阅本人写的强基培优专题《磁聚焦与磁场设计》）
缩放圆:轨迹圆的半径改变，动态放缩找临界条件。当粒子从同一点沿相同的方向垂直射入磁场时，入射速度大小不同，在磁场中轨迹圆的半径不同，通过放大或缩小轨迹圆能较快地找到临界条件。

解后语：典型带电粒子在有界磁场中运动往往还存在多解的问题。我们要考虑到带电粒子电性不确定，受洛伦兹力作用的带电粒子，可能带正电，也可能带负电。当具有相同初速度时，正负粒子在磁场中的运动轨迹不同，导致形成双解。如果试题只给出磁感应强度的大小，而未指出其方向，那么要考虑磁感应强度方向不确定而形成多解。临界状态不唯一，带电粒子在洛伦兹力作用下飞越有界磁场时，由于粒子运动轨迹是圆弧状，可能从边界的不同部分穿出，因此穿越磁场的轨迹可能有多种情况。

1. III.  带电粒子在组合场中的运动

3.        存在于相邻空间的电场、磁场、重力场构成组合场。带电粒子在组合场中的运动分析要注意：
   

   1.不同场的力作用不同，运动特点也有所不同。带电粒子在电场中运动时，在电场力作用下电粒子加速或偏转；带电粒子在匀强磁场中运动时，洛伦兹力不做功，粒子的运动速度大小不变，但速度方向发生变化。在高考压轴题中，经常把这二者结合起来，让带电粒子分别经过电场和磁场，把这两种（多种）运动组合起来全面考查同学对各种带电粒子运动的掌握情况。求解这类问题一般是按顺序对题目给出运动过程进行分段分析，将复杂问题分解为一个一个简单、熟悉的问题。

4. 2.探讨带电粒子在每一个场中的运动，重点是紧抓不同运动的连结点。即对带电粒子从一个场进入另一个场时的状态要进行仔细研究，弄清此刻粒子的速度（大小和方向）及位置、粒子进入某一场时的状态常对其在该场中的之后运动情况有决定性的影响。

5. 3.注意带电粒子从磁场中某个位置飞出后，若在经过电场的作用在同一位置以相同的速度大小再次飞入磁场时，由于飞入与飞出时速度的方向相反，洛伦兹力的方向相反，粒子两次在磁场中运动轨迹并不重合。

解后语：一般情况下，带电粒子垂直进入匀强磁场后的运动，轨迹是匀速圆周运动的一部分。本题第（3）问关键是确定两种粒子粒子（最小速度粒子和最早发射粒子）飞入磁场点和飞出磁场点的位置及速度方向，再利用几何关系确定圆心、半径、连结点。带电粒子从一个场飞入另一个场中的连结点是这一类问题的中枢，其速度是粒子在前一个场的末速度，又是后一个场的初速度，解决问题时要充分利用这个位置的信息。其次带电粒子在磁场中的运动具有周期性，轨迹往往具有重复性，会形成多解。请参阅例4、例5题解。

1. IV.带电粒子在复合场中的运动

电场、磁场、重力场中的任意两个场或三个场同时存在于相同空间构成叠加场（又叫做复合场）。电粒子在复合场中的运动，一般具有较复杂的运动图景。这类问题本质上还是属于力学问题，解题时仍旧运用力学问题的研究思路和基本规律。
  在解决复合场问题时应首先弄清是哪些场共存，注意电场和磁场的方向及强弱，以便确定带电粒子（带电体）在场中的受力情况。根据空间存在的场的不同，一般带电粒子（带电体）的运动规律不同，通常可以分为以下几类：
1.在重力场和电场共存的空间中，带电粒子（带电体）的运动状态一般为：(1）静止或匀速直线运动，常用的方程为 mg = Eq ;(2）匀变速直线运动或匀变速曲线运动（如：类平抛运动）。由于合力恒定，因此处理方法可以采用等效重力场的方法。
2.在重力场与匀强磁场共存的空间：一般考虑粒子做匀速直线运动情况，重力与洛伦兹力平衡 quB = mg 。其他运动情况（如螺旋式运动）由于速度方向与磁场方向不垂直，一般不在高考范围之内。
3.在匀强电场与匀强磁场共存的空间：一般也只考虑做匀速直线运动，平衡方程为  Eq = qBv 。
4.在重力场、匀强电场、匀强磁场三个场同时存在的空间，粒子的运动情况一般为：(1）静止，带电粒子所受的重力与电场力平衡，没有运动不受洛伦兹力的作用。(2）做匀速直线运动，重力、电场力与洛伦兹力三力平衡（三个力一定不在一直线上），也可能是重力与电场力平衡，但运动方向与磁场方向在同一直线上，不受洛伦兹力作用。(3）做匀速圆周运动，带电粒子（带电体）所受的重力与电场力平衡，相当于带电粒子（带电体）只受洛伦兹力作用。(4）非匀变速曲线运动，受到洛伦兹力作用做变速运动，一定是变速曲线运动。
  最后，无论在什么场中，分析思路要明晰：(1）明确研究对象，进行受力分析；(2）根据受力情况确定物体做什么运动。

解后语：首先重申物体做什么运动跟其受力有关。如第（1）问小球在I区域受qE₁、mg、Bqv三力沿直线运动，只可能三力平衡，易得q为负。第(2)问小球在II区域受qE₂、mg二力作用沿PQ直线运动，合力必沿直线QP。由矢量合成知道，当qE2垂直于QP时其有最小值。其次要明白小球运动的周期不等于磁场变化的周期。如第（3）问小球进入III区域题设qE₃ =mg ,暗示只需考虑磁场力的作用。非稳磁场 B₂=3πm/2qT₀恒定,方向具有周期性，小球运动也具有周期性，但T₀≠T_运，小球运动方向由T0决定，小球在不同方向磁场中的运动时间却由T运决定，这是描制小球轨迹的依据。而小球轨迹的边界又决定磁场区域面积。

V.带电粒子在非稳场中的运动

中学物理学中的磁场一般分为两种：一种是强度与方向不随空间位置变化的匀强磁场；一种是强度与方向不随时间变化的稳定磁场。但是近几年试题调研和高考命题不乏出现了方向随时间作周期性变化的非稳匀强磁场。对这种磁场，粒子运动的连续性使得粒子的轨迹仍具有连续性、周期性，问题的结果常伴有多解性。解题时要当心：粒子的运动周期T_运不一定等于磁场变化的周期T₀ 其次，粒子轨迹受磁场边界尺寸的限制，还可能出现所求物理量的多样性。

结束语：带电粒子在有界电场、磁场中运动问题除了要注意电场和磁场对带电粒子或带电体的作用特点之外，往往还受到空间的约束，如单直线边界、双直线边界、矩形边界、圆形边界等等；限定了粒子运动半径，进而制约到其他物理量。因此。解决这类问题，除了熟练三条解题途径，临界极值问题的分析也相对重要。关键在于能够运用动态思维，寻找临界点。解题时以题目中的'最大'、'最高'、“最短”、“最少”、'至少'等为突破口，确定临界状态，并由磁场边界和题设条件画好轨迹、定好圆心，建立几何关系，求出粒子做圆周运动的半径的范围，从而求解其他物理量。

2023.5.28.