【原】来解题吧 | 托勒密、斯图尔特、暴力解题一起来

题目：等腰梯形ABCD中，AD平行BC，且BC<AD，AB=CD，在图形内部有一点P，使得PA=1,PB=2,PC=3,PD=4，求BC:AD的值？

解法1：托勒密定理

①辅助线：作等腰梯形ABCD的对称轴l；作P关于直线l的对称点P'；连接PP'、AP'、BP'、CP'、DP’;

②则AP'=DP=4，BP'=CP=3，CP'=BP=2，DP'=AP=1；

③应用托勒密定理：定理证明 | 托勒密定理

在四边形APP'D中：PP'×AD+AP×DP'=AP'×DP

所以PP'×AD+1×1=4×4

所以PP'×AD=15                                                  (1)

在四边形BPP'C中：PP'×BC+BP×CP'=BP'×CP

所以PP'×BC+2×2=3×3

所以PP'×BC=5                                                    (2)

由(2)÷(1)得：BC:AD=1:3

解法2：斯图瓦特定理

①辅助线：延长AB、DC相交于点E，连接PE；

②应用斯图尔特定理：

在△APE中：

a×b×（a+b）+4×（a+b）=1×a+s2×b                 (1)

在△DPE中：

a×b×（a+b）+9×（a+b）=16×a+s2×b               (2)

由(2)-(1)得：b=2a，BC:AD=BE:AE=1:3

补充：斯图尔特定理证明

解法3：建系暴力解题

①辅助线：构造平面直角坐标系如图所示，设点的坐标如图所示；

②用两点间的距离公式：

由PA2-PD2得：4ac=-15

由PB2-PC2得：4bc=-5

所以a:b=1:3，BC:AD=1:3