|
本题改编自2014年白云区八年级上数学期末试卷 如图，⊙O为△ABC的外接圆，∠BOC＝160°，AB＝AC，BE平分∠ABC，且分别交AC和⊙O于点D，E． （1）求∠ADB的度数； （2）求证：BC＝AD＋BD． 【原题】 2014年白云区八年级上数学期末试卷 原题图 已知等腰△ABC，AB=AC，∠A=100°， BD平分∠ABC并交AC于点D， 求证：BC=AD+BD 改编方法： 将△ABC置于圆中即可 【解法集锦】 方法一 辅助线：截取CH=AD 根据BD是角平分线，利用面积法易得AD/CD=AB/BC 等量代换得，CH/CD=AC/BC 证明△CDH∽△CBA 最终得到BD=BM 方法二 常规方法，截取BG=AB，作DH=AD 方法三 方法类似上图，都是证明等腰三角形 方法四 本法比较巧妙，构造辅助线，得△BGH≌△BAD 方法五 角平分线往两边作垂线 方法六 角平分线构造平行线，得等腰三角形 方法七 证明△CDG≌△CDH 方法八 此法亦甚妙，延长BD，使得DF=AD， 证明∠F=30°，利用它所对的直角边BG等于斜边BF的一半， 再证明BG=BH=1/2BC，即可得到结论 方法九 方法比较常规 方法十 此法比较难想，延长BD，使得BH=BC， 再分别延长BA和CH交于点G， 医德A，D，H，G四点共圆， 然后利用∠AGD=∠HGD，得所对的弦相等
方法十一 利用DB、DC为△ACG的角平分线， 得点D为内心，即DG平分∠BGC， 再证明△ADG≌△FDG
此法亦甚妙，唯一利用了改编后的图形“圆”， 延长AC和BO交于点F，易得∠F=30°， 取⊙O上一点G，使得BG=BO， 得△BOG为等边三角形，再证明△BGC≌△AOF
【总结】 本题的关键是利用角平分线进行构造辅助线，大部分使用全等的知识，当然也可以加入面积法与相似。 本题甚至可以不需要使用辅助线，利用高中三角函数和差化积的公式进行求解，当然，由于属于高中的知识，在此不进行拓展。 |
|
|
