函数中的姊妹花——反比例函数

反比例函数是我们初中学习的第二大函数，它的特征是两变量的乘积是一个定值。由于两变量的乘积是一个定值，所以两个变量的大小变化是相反的，自变量在同一支曲线上取值时，自变量越大，函数值就越小，自变量越小，函数值越大，这可能为什么叫它反比例函数的原因吧。

反比例函数的图象是两支曲线，不同于一次函数的图象是一条直线，由于两支曲线放在一块能够完全重合，并且分居于两个两个相对的象限内，就象两个双胞胎姐妹相邻而望，所以我们称反比例函数是函数中的双胞胎姐妹，属于姊妹花。

下面我们看一下反比例函数的基础知识吧。

一、定义：

二、图象与画法

画法：

（1）由解析式确定x，y的对应值，在表格中列出；

（2）把对应的x，y值作为点坐标在平面直角坐标系描出；

（3）用平滑的曲线描出来

注意问题：

①x，y对应值对称取值；

②取值要足够的多；

③连线用平滑曲线，注意延伸。

图象特征：

（1）反比例函数的图象是两支曲线，放在一起能够完全重合，两支曲线向两方无限延伸接近坐标轴，但永远不会和坐标轴相交；

（2）每一支曲线都是轴对称图形，对称轴有一条，两支曲线是轴对称的位置关系，对称轴有两条；

三、图象与性质

当k>0时，双曲线在一三象限呈对称分布，对称轴为一三象限的角平分线和二四象限的角平分线，图象从左向右看呈下降趋势，在每个象限内（或每支曲线上或当x>0或x<0时）是减函数；

当k<0时，双曲线在二四象限呈对称分布，对称轴为一三象限的角平分线和二四象限的角平分线，图象从左向右看呈上升趋势，在每个象限内（或每支曲线上或当x>0或x<0时）是增函数

把上面的性质归纳概括起来，用下面的表格表示更直观。

四、k的意义

（1）代数意义：xy=k（k≠0）

两变量的乘积为定值即在图象上所有点坐标乘积相等

（2）几何意义：面积与对称

过双曲线上一点分别向x轴和y轴作垂线段和坐标轴构成一个矩形，那么这个矩形的面积是|k|.根据点坐标的几何意义，两条垂线段的长分别是|x|和|y|，而矩形面积是长×宽也就是|x|·|y|，即|xy|=|k|.从这里可以看出，无论动点移动到曲线的哪个位置，矩形面积都是|k|.

如果过曲线的一动点作任意一个坐标轴的垂线段构成一个直角三角形，无论动点怎么运动，直角三角形的面积为定值|k|/2.

如果过双曲线上一点作一坐标轴的垂线段，另外一个坐标轴上选一动点，无论点怎么运动，三角形的形状怎么样变化，三角形的面积还是|k|/2.

利用|k|的意义和对称性确定四边形和三角形的面积

五、与一次函数的关系

（1）正比例函数与双线交点关于原点对称，即交点的坐标互为相反数；

（2）直线和双曲线相交时，交点坐标就是对应函数解析式组成的方程组的解，当方程组无解时便没有交点；

（3）待定系数法

（1）利用方程确定反比例函数解析式，已知一个点的坐标；

（2）利用k的几何意义确定k.

四、应用

（1）反比例函数在生活中的应用，如物理，工程，行程等；

（2）反比例函数与一次函数的综合题目；

（3）比较反比例函数值的大小，注意同一支曲线。