§1.3 等式性质与不等式性质
1．两个实数比较大小的方法 作差法 (a，b∈R) 2．等式的性质 性质1 对称性：如果a＝b，那么b＝a； 性质2 传递性：如果a＝b，b＝c，那么a＝c； 性质3 可加(减)性：如果a＝b，那么a±c＝b±c； 性质4 可乘性：如果a＝b，那么ac＝bc； 性质5 可除性：如果a＝b，c≠0，那么＝. 3．不等式的性质 性质1 对称性：a>b⇔b<a； 性质2 传递性：a>b，b>c⇒a>c； 性质3 可加性：a>b⇔a＋c>b＋c； 性质4 可乘性：a>b，c>0⇒ac>bc；a>b，c<0⇒ac<bc； 性质5 同向可加性：a>b，c>d⇒a＋c>b＋d； 性质6 同向同正可乘性：a>b>0，c>d>0⇒ac>bd； 性质7 同正可乘方性：a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2)．
1．若ab>0，且a>b⇔<. 2．若a>b>0，m>0⇒<； 若b>a>0，m>0⇒>.
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)两个实数a，b之间，有且只有a>b，a＝b，a<b三种关系中的一种．( √ ) (2)若>1，则b>a.( × ) (3)若x>y，则x2>y2.( × ) (4)若>，则b<a.( × )
1．如果ac>bc，那么下列不等式中，一定成立的是( ) A．ac2>bc2 B．a>b C．a＋c>b＋c D.> 答案 D 解析 若c<0，则a<b，所以ac2<bc2，a＋c<b＋c，A，B，C均错； 因为ac>bc，则c2>0，因为ac>bc，则>，即>，故D正确． 2．已知M＝x2－3x，N＝－3x2＋x－3，则M，N的大小关系是________． 答案 M>N 解析 ∵M－N＝(x2－3x)－(－3x2＋x－3) ＝4x2－4x＋3＝(2x－1)2＋2>0， ∴M>N. 3．若1<a<2,2<b<3，则的取值范围是________． 答案 解析 由2<b<3， 得<<， 又1<a<2， ∴1×<a×<2×， 即<<1.
题型一 数(式)的大小比较 例1 (1)已知p∈R，M＝(2p＋1)(p－3)，N＝(p－6)(p＋3)＋10，则M，N的大小关系为( ) A．M<N B．M>N C．M≤N D．M≥N 答案 B 解析 因为M－N＝(2p＋1)(p－3)－[(p－6)(p＋3)＋10]＝p2－2p＋5＝(p－1)2＋4>0，所以M>N. (2)若a>b>1 ，P＝aeb，Q＝bea，则P，Q的大小关系是( ) A．P>Q B．P＝Q C．P<Q D．不能确定 答案 C 解析 P，Q作商可得＝＝， 令f(x)＝，则f′(x)＝ ， 当x>1时，f′(x)>0，所以f(x)＝在(1，＋∞)上单调递增， 因为a>b>1，所以<， 又>0，>0，所以＝<1，所以P<Q. 思维升华 比较大小的常用方法 (1)作差法：①作差；②变形；③定号；④得出结论． (2)作商法：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④得出结论． (3)构造函数，利用函数的单调性比较大小． 跟踪训练1 (1)已知a，b为不相等的实数，记M＝a2－ab，N＝ab－b2，则M与N的大小关系为( ) A．M>N B．M＝N C．M<N D．不确定 答案 A 解析 因为M－N＝(a2－ab)－(ab－b2)＝(a－b)2， 又a≠b，所以(a－b)2>0，即M>N. (2)已知M＝，N＝，则M，N的大小关系为________． 答案 M>N 解析 方法一 M－N＝－ ＝ ＝ ＝>0. ∴M>N. 方法二 令f(x)＝ ＝＝＋， 显然f(x)是R上的减函数， ∴f(2 021)>f(2 022)，即M>N. 题型二 不等式的性质 例2 (1)已知a>b>c>0，下列结论正确的是( ) A．2a<b＋c B．a(b－c)>b(a－c) C.> D．(a－c)3>(b－c)3 答案 D 解析 ∵a>b>c>0，∴2a>b＋c，故A错误； 取a＝3>b＝2>c＝1>0，则a(b－c)＝3<b(a－c)＝4，故B错误； 由a>b>c>0可知，a－c>b－c>0， ∴<，(a－c)3>(b－c)3，故C错误，D正确． (2)(多选)若a>0>b>－a，c<d<0，则下列结论正确的是( ) A．ad>bc B.＋<0 C．a－c>b－d D．a(d－c)>b(d－c) 答案 BCD 解析 因为a>0>b，c<d<0，所以ad<0，bc>0，所以ad<bc，故A错误； 因为0>b>－a，所以a>－b>0，因为c<d<0， 所以－c>－d>0，所以a(－c)>(－b)(－d)，所以ac＋bd<0，cd>0，所以＝＋<0，故B正确； 因为c<d，所以－c>－d，因为a>b，所以a＋(－c)>b＋(－d)，即a－c>b－d，故C正确； 因为a>0>b，d－c>0，所以a(d－c)>b(d－c)，故D正确． 思维升华 判断不等式的常用方法 (1)利用不等式的性质逐个验证． (2)利用特殊值法排除错误选项． (3)作差法． (4)构造函数，利用函数的单调性． 跟踪训练2 (1)十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐步被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若a，b，c∈R，则下列命题正确的是( ) A．若a>b，则ac2>bc2 B．若>，则a<b C．若a<b<c<0，则< D．若a>b，则a2>b2 答案 C 解析 对于A选项，当c＝0时不满足，故错误； 对于B选项，由不等式性质知，>两边同时乘以c2>0，可得a>b，故错误； 对于C选项，若a<b<c<0，则a＋c<0，b－a>0，(b－a)c<0，a(a＋c)>0，故－＝＝<0，即<，故正确； 对于D选项，取a＝－1，b＝－2，可得a2<b2，故错误． (2)(多选)若<<0，则下列不等式正确的是( ) A.< B．|a|＋b>0 C．a－>b－ D．ln a2>lnb2 答案 AC 解析 由<<0，可知b<a<0. A中，因为a＋b<0，ab>0，所以<0，>0. 则<，故A正确； B中，因为b<a<0，所以－b>－a>0. 故－b>|a|，即|a|＋b<0，故B错误； C中，因为b<a<0，又<<0， 则－>－>0，所以a－>b－，故C正确； D中，因为b<a<0，根据y＝x2在(－∞，0)上单调递减，可得b2>a2>0，而y＝ln x在定义域(0，＋∞)上单调递增，所以ln b2>ln a2，故D错误． 题型三 不等式性质的综合应用 例3 (1)已知－1<x<4,2<y<3，则x－y的取值范围是__________，3x＋2y的取值范围是________． 答案 (－4,2) (1,18) 解析 ∵－1<x<4,2<y<3，∴－3<－y<－2， ∴－4<x－y<2. 由－1<x<4,2<y<3， 得－3<3x<12,4<2y<6， ∴1<3x＋2y<18. 延伸探究 若将本例(1)中条件改为－1<x＋y<4,2<x－y<3，求3x＋2y的取值范围． 解 设3x＋2y＝m(x＋y)＋n(x－y)， 则∴ 即3x＋2y＝(x＋y)＋(x－y)， 又∵－1<x＋y<4,2<x－y<3， ∴－<(x＋y)<10,1<(x－y)<， ∴－<(x＋y)＋(x－y)<， 即－<3x＋2y<， ∴3x＋2y的取值范围为. (2)已知3<a<8,4<b<9，则的取值范围是________． 答案 解析 ∵4<b<9，∴<<， 又3<a<8， ∴×3<<×8，即<<2. 思维升华 求代数式的取值范围，一般是利用整体思想，通过“一次性”不等关系的运算求得整体范围． 跟踪训练3 (1)已知1≤a≤2，－1≤b≤4，则a－2b的取值范围是( ) A．[－7,4] B．[－6,9] C．[6,9] D．[－2,8] 答案 A 解析 因为－1≤b≤4， 所以－8≤－2b≤2， 由1≤a≤2，得－7≤a－2b≤4. (2)已知实数a，b，c，满足a>b>c，且a＋b＋c＝0，那么的取值范围是________． 答案 －2<<－ 解析 由于a>b>c，且a＋b＋c＝0， 所以a>0，c<0，b＝－a－c，－a－c<a,2a>－c，>－2， －a－c>c，－a>2c，<－， 所以－2<<－. 课时精练
1．(2023·长春模拟)已知a>0，b>0，M＝，N＝＋，则M与N的大小关系为( ) A．M>N B．M<N C．M≤N D．M，N大小关系不确定 答案 B 解析 M2－N2＝(a＋b)－(a＋b＋2) ＝－2<0， ∴M<N. 2．已知a，b∈R，若a>b，<同时成立，则( ) A．ab>0 B．ab<0 C．a＋b>0 D．a＋b<0 答案 A 解析 因为<， 所以－＝<0， 又a>b，所以b－a<0，所以ab>0. 3．(多选)已知a<b<0，则下列结论正确的是( ) A．b2<ab B.< C．2a>2b D．ln(1－a)>ln(1－b) 答案 AD 解析 对于A，因为a<b<0，所以b－a>0，则b2－ab＝b(b－a)<0，即b2<ab，故选项A正确； 对于B，因为a<b<0，所以ab>0，则<，即<，故选项B错误； 对于C，因为a<b<0且函数y＝2x是增函数，所以2a<2b，故选项C错误； 对于D，因为a<b<0，所以1－a>1－b>1，又因为函数y＝lnx在(0，＋∞)上单调递增，所以ln(1－a)>ln(1－b)，故选项D正确． 4．若－π<α<β<π，则α－β的取值范围是( ) A．－2π<α－β<2π B．0<α－β<2π C．－2π<α－β<0 D．{0} 答案 C 解析 ∵－π<β<π， ∴－π<－β<π， 又－π<α<π， ∴－2π<α－β<2π， 又α<β，∴α－β<0， ∴－2π<α－β<0. 5．已知x，y∈R，且x>y>0，则( ) A．cos x－cos y>0 B．cos x＋cos y>0 C．ln x－ln y>0 D．ln x＋ln y>0 答案 C 解析 对于A，y＝cos x在(0，＋∞)上不是单调函数，故cos x－cosy>0不一定成立，A错误； 对于B，当x＝π，y＝时，cos x＋cos y＝－1<0，B不一定成立； 对于C，y＝lnx在(0，＋∞)上为增函数，若x>y>0，则ln x>ln y，必有ln x－ln y>0，C正确； 对于D，当x＝1，y＝时，ln x＋ln y＝ln <0，D不一定成立． 6．(多选)(2023·汕头模拟)已知a，b，c满足c<a<b，且ac<0，那么下列各式中一定成立的是( ) A．ac(a－c)>0 B．c(b－a)<0 C．cb2<ab2 D．ab>ac 答案 BCD 解析 因为a，b，c满足c<a<b，且ac<0， 所以c<0，a>0，b>0，a－c>0，b－a>0， 所以ac(a－c)<0，c(b－a)<0，cb2<ab2，ab>ac. 7．(多选)设a，b，c，d为实数，且a>b>0>c>d，则下列不等式正确的有( ) A．c2<cd B．a－c<b－d C．ac<bd D.－>0 答案 AD 解析 因为a>b>0>c>d， 所以a>b>0,0>c>d， 对于A，因为0>c>d，由不等式的性质可得c2<cd，故选项A正确； 对于B，取a＝2，b＝1，c＝－1，d＝－2， 则a－c＝3，b－d＝3， 所以a－c＝b－d，故选项B错误； 对于C，取a＝2，b＝1，c＝－1，d＝－2， 则ac＝－2，bd＝－2， 所以ac＝bd，故选项C错误； 对于D，因为a>b>0，d<c<0，则ad<bc， 所以>， 故－>0，故选项D正确． 8．(多选)(2022·沈阳模拟)已知非零实数a，b满足a>|b|＋1，则下列不等关系一定成立的是( ) A．a2>b2＋1 B．2a>2b＋1 C．a2>4b D.>b＋1 答案 ABC 解析 对于非零实数a，b满足a>|b|＋1， 则a2>(|b|＋1)2， 即a2>b2＋2|b|＋1>b2＋1，故A一定成立； 因为a>|b|＋1≥b＋1⇒2a>2b＋1，故B一定成立； 又(|b|－1)2≥0，即b2＋1≥2|b|， 所以a2>4|b|≥4b，故C一定成立； 令a＝5，b＝3，满足a>|b|＋1， 此时＝<b＋1＝4，故D不一定成立． 9．已知M＝x2＋y2＋z2，N＝2x＋2y＋2z－π，则M________N．(填“>”“<”或“＝”) 答案 > 解析 M－N＝x2＋y2＋z2－2x－2y－2z＋π ＝(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2＋π－3≥π－3>0， 故M>N. 10．能够说明“设a，b，c是任意实数．若a2>b2>c2，则a＋b>c”是假命题的一组整数a，b，c的值依次为________． 答案 －3，－1,0(答案不唯一) 解析 令a＝－3，b＝－1，c＝0，则a2>b2>c2， 此时a＋b＝－4<0，所以a＋b>c是假命题． 11．若1<α<3，－4<β<2，则2α＋|β|的取值范围是________． 答案 (2,10) 解析 ∵－4<β<2， ∴0≤|β|<4， 又1<α<3， ∴2<2α<6， ∴2<2α＋|β|<10. 12．eπ·πe与ee·ππ的大小关系为________． 答案 eπ·πe<ee·ππ 解析 ＝＝π－e， 又0<<1,0<π－e<1， ∴π－e<1， 即<1，即eπ·πe<ee·ππ.
13．已知0<a<b<1，设m＝bln a，n＝aln b，p＝ln，则m，n，p的大小关系为( ) A．m<n<p B．n<m<p C．p<m<n D．p<n<m 答案 A 解析 因为0<a<b<1，则>1， 且lna<ln b<0，即有>1， 因此，ln>0，即p>0， 又m<0，n<0，则＝＝·>1，于是得m<n<0，所以m<n<p. 14．实数a，b，c，d满足下列三个条件： ①d>c；②a＋b＝c＋d；③a＋d<b＋c. 那么a，b，c，d的大小关系是________． 答案 b>d>c>a 解析 由题意知d>c①，由②＋③得2a＋b＋d<2c＋b＋d，化简得a<c④，由②式a＋b＝c＋d及a<c可得到，要使②成立，必须b>d⑤成立，综合①④⑤式得到b>d>c>a.
15．(多选)(2023·长沙模拟)设实数a，b，c满足b＋c＝6－4a＋3a2，c－b＝4－4a＋a2，则下列不等式成立的是( ) A．c<b B．b≥1 C．b≤a D．a<c 答案 BD 解析 ∵ 两式相减得2b＝2a2＋2， 即b＝a2＋1，∴b≥1. 又b－a＝a2＋1－a＝2＋>0， ∴b>a. 而c－b＝4－4a＋a2＝(a－2)2≥0， ∴c≥b，从而c≥b>a. 16．(2022·全国甲卷)已知9m＝10，a＝10m－11，b＝8m－9，则( ) A．a＞0＞b B．a＞b＞0 C．b＞a＞0 D．b＞0＞a 答案 A 解析 ∵9m＝10，∴m∈(1,2)， 令f(x)＝xm－(x＋1)，x∈(1，＋∞)， ∴f′(x)＝mxm－1－1， ∵x>1且1<m<2， ∴xm－1>1，∴f′(x)>0， ∴f(x)在(1，＋∞)上单调递增， 又9m＝10，∴9m－10＝0，即f(9)＝0， 又a＝f(10)，b＝f(8)， ∴f(8)<f(9)<f(10)，即b<0<a. |
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