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《九章算术》编定者耿寿昌的生平事迹 邹大海 （中国科学院自然科学史研究所，北京，100190） 摘编按语： Extracted notes 耿寿昌是活于公元前一世纪70年代至40年代的数学家、天文学家、理财家和高级官员。公元3世纪刘徽记载，中国古代最重要的数学经典《九章算术》是西汉初期的张苍和中后期的耿寿昌在收集其先秦祖本之遗文的基础上，进行整理和删补而形成的。那么，作为两个编纂者中的后一位，耿寿昌实际是《九章算术》的定稿人，理应列入中国古代最重要的科学家特别是数学家之列。但正史中没有耿寿昌的专门传记，数学史家又在相对长的时间内对刘徽的记载持怀疑态度，所以学术界长期对耿寿昌缺乏系统的研究。作为对恩师郭书春先生教诲的回馈，笔者近日发表一篇长文，对耿寿昌的生平、政绩、在数学和天文学上的贡献进行了较为系统的梳理，特别是利用传世文献与出土文献相结合，引进概率方法，证明了耿寿昌编定《九章算术》的史实，并重新确定了他在科学史上的地位。 耿寿昌的生平事迹，前人虽有简单涉及但不成系统，特别是缺乏对其事迹的时间节点的把握，也未涉及耿寿昌是哪里人的问题。下面摘取拙文中涉及这方面的内容，重拟标题，形成一篇小文，以飨读者，亦祈读者批评指正。想对耿寿昌做更全面了解的读者，可参看拙文《耿寿昌，一位不该低估的中国古代科学家》（见邹大海、郭金海、田淼主编：《探史求新——庆祝郭书春先生八十华诞文集》，哈尔滨工业大学出版社，2023年5月，第3-25页。） 邹大海 2023年6月11日 在正史中没有耿寿昌的专门传记，但有其事迹的零星记载，可据以大致描述其生平（所据文献及其出处根据本文叙述方便在合适的地方给出）。 一、耿寿昌是什么地方的人？ 文献中没有明确记载耿寿昌的里籍，但《宋史·礼志》记载，大观三年（公元1109年）“礼部、太常寺请以文宣王为先师，兖、邹、荆三国公配享，十哲从祀。自昔著名算数者画像两庑，请加赐五等爵，随所封以定其服”。由张邦昌拟定这些著名数学家的爵位封号，皇帝下诏批准，其中“耿寿昌安定伯”。[1] 安定为地名。西汉时有一郡三县名安定。安定郡，“武帝元鼎三年置”，治所在高平县。辖21县，其中有安定县。又钜（巨）鹿郡，治所在钜鹿县。辖20县，其中一县名安定，是宣帝时封给刘贤（武帝子燕刺王刘旦的儿子）的侯国。又交趾郡，治所在羸𨻻。辖10县，其中亦有一县名安定。[2] 交趾郡的安定县在今越南境内，太靠南了，与熟悉北方的耿寿昌有关的可能性很低。安定郡范围太大，所以耿寿昌所封安定伯的“安定”可能指钜鹿郡或安定郡下的安定县。《汉书》中的耿姓人物中，只有两个带有地名。《汉书·王商传》提到“前频阳耿定上书言商与父傅通，及女弟淫乱”[3]，说明耿定是频阳人。频阳（今陕西富平）为左冯翊的24县之一[4]，西汉无其他称为频阳的郡或县。《汉书·百官公卿表下》记载，元寿元年（公元前2年）“陈留太守茂陵耿丰为少府，二年为复土将军”[5]，说明耿丰为茂陵人。茂陵是汉武帝的陵寝，武帝时置有茂陵县（今陕西兴平），它是右扶风21县之一[6] ，西汉无其他称为茂陵的郡或县。右扶风、左冯翊均属三辅，前者与安定郡接壤，后者也与安定郡距离很近。茂陵、频阳与安定郡的安定县直线距离都不到180公里，前两者在西汉都有耿姓人，那么如果后者有耿姓人也不奇怪。《汉书》中记载皇帝巡幸安定（可能指郡或县）次数较多，安定郡下的安定县（治所在今甘肃泾川县北五里水泉寺村）[7]距离京师很近，有较大可能是耿寿昌的里籍或生长地。这与他很熟悉京师附近郡的产粮情况从而提出改革漕运的建议是相符的。不过，《后汉书·耿弇传》说“耿弇字伯昭，扶风茂陵人也。其先武帝时，以吏二千石自钜鹿徙焉。”李贤等注：“武帝時，徙吏二千石高赀富人及豪杰并兼之家于诸陵也。”[8] 说明耿弇的祖先这支耿姓人本来是从巨鹿县（亦可能指巨鹿郡）迁来，可能是巨富商人捐资为官，在武帝时迁到茂陵。那么，巨鹿郡的安定县可能有耿姓，而耿寿昌来自这个安定县（治所在今河北省辛集市东北旧城镇西七里）[9]也是可能的。《辛集市志》说辛集市“原名束鹿县”，“西汉时，县地先后置贳、郻、安定、乐信、西梁五个侯国，后改为县。武帝时，贳、郻、安定、乐信四县属冀州钜鹿郡，西梁县属信都国。”[10] 按前一句，则先有安定侯国，那么后一句说的似乎只是四县所在区域（而不是四个行政县）在武帝时属于钜鹿郡。按后一句，则先在武帝时有安定县，此县在宣帝时成为封给刘贤的侯国，那么前一句说的便是此侯国后来又成为一个县。不知在成为侯国之前到底有没有安定县。如果按前一种理解，则耿寿昌不太可能是此安定县人，因为他时代更早；如果按后一种理解，则存在耿寿昌是此安定县人的可能性。或许汉武帝时代迁到茂陵的耿氏族人之后又有分化，有一支迁到左冯翊的频阳，也有一支迁到安定郡的安定县，耿寿昌属于这后一支。 二、耿寿昌的生平事迹 耿寿昌的生卒年不详，其早年事迹亦不清楚。从后面证实他编定了《九章算术》，又靠着数学才能受到宣帝重用来看，他可能年少时就得到了张苍收集整理的《九章算术》未完成本，或家传此本，并勤加研习，从而培养了高超的数学能力。史籍明确提到他的史事中，最早的明确年份是西汉宣帝神爵元年（公元前61年），时任大司农中丞。大司农是中央掌管国家财政经济的长官（部门），掌管全国赋税收入和财政开支，兼理各地仓储、水利、官府农业、工商业的经营，调运货物，管理物价等。大司农下有两丞，秩千石。大司农中丞是大司农的主要属官，协助大司农总署曹事，相当于副职。耿寿昌也以大司农中丞的身份出现在宣帝五凤年间（公元前57-公元前53年）和甘露二年（公元前52年）的史事中。史籍中还提到大司农中丞耿寿昌为宣帝主持建造杜陵，而元帝初元元年（公元前48年）汉宣帝安葬于此，如果没有意外的话，耿寿昌也应该负责此事。史籍中没有提到他还担任过其他职务，很可能他在当上大司农中丞之后长期担任此职，未再升迁。但他曾获得关内侯的爵位，算是得到了皇帝的特别恩宠。 《汉书·食货志》提到“宣帝即位，用吏多选贤良，百姓安土，……，农人少利。时大司农中丞耿寿昌以善为算、能商功利得幸于上，五凤中奏言：……”[11]。从宣帝即位（公元前74年）到五凤元年（公元前57）有17年的间隔，从上述引文看不出耿寿昌“得幸于上”和入仕的具体时间，其他文献也没有明确的记载，但我们可以推算一个大致的时间。 公元前87年武帝去世，霍光等五位顾命大臣拥立不到8岁的刘弗陵登基，是为昭帝。几年后霍光独揽朝政，昭帝形同傀儡。公元前74年昭帝21岁时去世，没有子嗣，权倾朝野的大司马大将军霍光先立其侄子昌邑王刘贺，27日后又将他废去。之后霍光重新迎立了刘病已，是为宣帝。刘病已是武帝的曾孙，废太子刘据的孙子。刘据坐巫蛊之狱几乎满门抄斩，廷尉监邴吉冒险救下几个月大的刘病已。刘病已的生活环境几经转折，饱尝民间疾苦。宣帝汲取昭帝和刘贺的经验教训，在霍光的阴影下小心翼翼行事。本始元年（公元前73年）“大将军光稽首归政，上谦让委任焉”，宣帝听凭霍光处理政事，直到地节二年（公元前68年）霍光去世，“上始视政事”，终于熬到头可以自己做主。地节四年（公元前66年）霍光子霍禹、霍云等谋反，霍家几乎被满门抄斩。至此，宣帝行事再无羁绊，可完全按自己的意志行事。元康二年，宣帝注意到其名病已太容易让臣民触犯其名讳，遂改名为询。从公元前68年以后的几年，宣帝整顿吏治，选拔人才。[12] 可见宣帝即位之初为避免与霍光发生冲突，政事悉听霍光，并不自作主张。霍光去世特别是铲除霍家之后，宣帝才得以扬其天威。《食货志》所说宣帝“用吏多选贤良”应该在这段时间，耿寿昌的快速迁升也应该在这段时间。[13] 至晚在神爵元年（公元前61年）他已做到大司农中丞，这是相当于财政部副部长的高官。那么他此前必有相当长的为官时间，而他始任大司农中丞的时间也可能早于此年。 《汉书·宣帝纪》说“元康元年春，以杜东原上为初陵，更名杜县为杜陵。徙丞相、将军、列侯、吏二千石、訾百万者杜陵。”[14] 这是公元前65年的事。前面提到耿寿昌造杜陵，很可能他在这一年或之后不久就主持其事，他开始担任大司农中丞亦可能就在此时。一个较合理的假设是耿寿昌生于公元前100年前后，在昭帝时代（公元前87-74年）已经步入仕途。从公元前68年以来，随着宣帝亲政，改革吏治，耿寿昌凭借数学能力获得较快迁升，大约在公元前65年或至晚到公元前61年已担任大司农中丞，时年40岁左右。在史籍中，耿寿昌在汉元帝时期除与杜陵有关外，再无其他事迹，因此可假设此后他生活了10年左右，再取整数，可估计他约于公元前40年左右去世，享年60岁左右。耿寿昌的活动应该经历西汉昭帝时代（公元前87年-公元前74年）的后期、宣帝时代（公元前74年-公元前48年）的全部和元帝时代（公元前48年-公元前33年）的前几年。 三、耿寿昌的政绩 耿寿昌为官的主要贡献有四项：一是参与赵充国与羌人作战时的后勤供给工作；二是经济工作，包括解决京师粮食的供应和提高海租，开设常平仓；三是建造杜陵。 1军事后勤供给工作 神爵元年（公元前61年）赵充国奉命靖边。他拟采用“罢骑兵屯田，以待其敝”的对策。正好宣帝派人送来了让他进兵的玺书，他的儿子、时任中郎将的赵卬害怕了，让人劝谏父亲遵从上谕进兵。赵充国很不以为然，他发了一通感叹： 是何言之不忠也！本用吾言，羌虏得至是邪？往者举可先行羌者，吾举辛武贤，丞相御史复白遣义渠安国，竟沮败羌。金城、湟中谷斛八钱，吾谓耿中丞，籴二百万斛谷，羌人不敢动矣。耿中丞请籴百万斛，乃得四十万斛耳。义渠再使，且费其半。失此二册，羌人故敢为逆。失之毫厘，差以千里，是既然矣。今兵久不决，四夷卒有动摇，相因而起，虽有知者不能善其后，羌独足忧邪！吾固以死守之，明主可为忠言。[15] 赵充国指责他儿子派来的人所说的话不是忠言。他说，如果当初按他的意见行事，就不会造成现在的局面。他坚持认为，根据现在的形势，就必须死守。他提到之前两个失策之处，一是用人失当，用了丞相御史推荐的义渠安国而没有用他推荐的辛武贤；二是粮食问题。因为有粮食问题，所以他需要囤田。在讲以前的粮食问题时，他提到了“耿中丞”，服虔注曰：“耿寿昌也，为司农中丞。”他让耿寿昌在金城、湟中谷价只有一斛八钱的情况下籴谷200万斛，耿寿昌请求只买100万斛，而最后能落实的只有40万斛。义渠安国再次出使的时候耗费了一半，造成粮食补给的困难。可见，耿寿昌参与了此次战事的后勤补给工作，只是具体的细节知之不多。后来耿寿昌想法解决京师的粮食漕运、提高海税和开设常平仓的想法，可能与此次经历的教训有关。 2经济工作 《汉书·食货志》云： 宣帝即位，用吏多选贤良，百姓安土，岁数丰穰，谷至石五钱，农人少利。时大司农中丞耿寿昌以善为算、能商功利得幸于上，五凤中奏言：“故事，岁漕关东谷四百万斛以给京师，用卒六万人。宜籴三辅、弘农、河东、上党、太原郡谷足供京师，可以省关东漕卒过半。”又白增海租三倍，天子皆从其计。御史大夫萧望之奏言：“故御史属徐宫，家在东莱，言往年加海租，鱼不出，长老皆言武帝时县官常自渔，海鱼不出,后复予民,鱼乃出。夫阴阳之感，物类相应,万事尽然。今寿昌欲近籴漕关内之谷，筑仓治船，费直二万万余，有动众之功，恐生旱气，民被其灾。寿昌习于商功分铢之事，其深计远虑，诚未足任，宜且如故。”上不听。漕事果便，寿昌遂白令边郡皆筑仓，以谷贱时增其贾而籴，以利农，谷贵时减贾而粜，名曰常平仓。民便之。上乃下诏，赐寿昌爵关内侯。[16] 这里提到“商功利”和“商功分铢”，颜师古注前者曰:“商，度也”。“商”应包含测量、计算两方面的意思。“商功利”可能读为“商功、利”，包括“商功”和“商利”两个方面。“功”应该指各种工作量。《九章》第5章的题名叫“商功”，该章涉及城墙、河堤、粮堆和其他立体的体积算法，沟堑、仓库、墓道、墓穴、水池等的容积的算法，以及相应的人工计算。这里的“商功”应该包括这些内容，但范围可能更广。“商利”应该是讲通过计算的方法经营财物获得相应的利润。“分铢”可能是借用字面上的含义——对铢这么轻的东西进行分割，来说明对小的数量进行精确计算。这段文字说明，宣帝即位以后（实际应该指公元前68年亲政以后），选拔任用了贤良之臣为官。耿寿昌应该就是其中的一个。他有很强的数学才能，善于商功、商利，正是凭借这种用数学知识解决实际问题的能力而受到宣帝的宠信。在五凤年间（公元前57-公元前53年）耿寿昌曾给皇帝上书，指出过去每年从关东漕运400万斛谷到京师，需要用卒6万，人力耗费巨大。他提出了直接从三辅、弘农、河东等京师附近的地区籴谷供给京师，可节省超过一半的劳力。这不仅解决了京师粮食的供应问题，而且大幅度降低了成本。 他提出增加海租3倍，以提高财政收入。这样的建议受到了位高权重的御史大夫萧望之的反对。关于提高海租,萧望之称，据过去御史的属官徐宫讲，徐的家乡东莱在往年增加海租的时候，鱼都不出来；而当地的长老还说，武帝时代官府自己去捕鱼，海鱼也不出来，后来把打鱼权交付给百姓，鱼才出来。萧望之还利用阴阳感应的学说，进行了解释。对于改革漕运，萧氏反对的理由是修建仓库、打造船只就要耗费2亿余钱之巨，耿寿昌的作法会劳师动众，产生旱气，从而使百姓受灾。萧氏从维护百姓利益的角度说事，站在了道德的制高点，然后他又从个人能力的角度去批评耿寿昌：寿昌虽然对于商功、分铢之类具体细小之事很在行，但在大事情上实在没有能力深谋远虑，所以应该把他的建议搁置起来，悉仍旧贯。 萧望之阴阳感应、产生旱气之类的说法，在现代从科学的角度来看很奇怪，不过在当时倒也是常见的理由，只是古人对这类理由常在信、疑与不信之间摆动，而且因人因事而异。最终宣帝没有听从萧望之的反对意见而全面接受了耿寿昌的建议。后来的结果证明按耿寿昌的意见去做，向京师漕运粮食的事情进展很顺利。 耿寿昌又提出，要令边境的郡都修筑粮仓，在粮食价格低时提高价格买入囤积，提高农民的积极性；在粮食价高时降低价格卖出，平抑粮价，称之为常平仓。常平仓的设立，有利于市场粮价的稳定，也可以提升政府形象，受到了百姓的称赞。 耿寿昌设常平仓的事，在《汉书》其他篇中也有提及。《汉书·宣帝纪》载五凤四年“大司农中丞耿寿昌奏设常平仓，以给北边，省转漕。赐爵关内侯。”[17]《汉书·萧望之传》载五凤三年（公元前55年）萧望之接替丙吉担任御史大夫，当时 “匈奴大乱”，许多谈论国事的人主张“因其坏乱举兵灭之”。宣帝派“中朝大司马车骑将军韩增、诸吏富平侯张延寿、光禄勋杨恽、太仆戴长乐问望之计策”，萧望之引《春秋》所载晋国士匄领军侵齐，中途听闻齐侯去世，士匄不但没有进攻反而领军退还，“君子大其不伐丧，以为恩足以服孝子，谊足以动诸侯”的故事，根据“前单于慕化乡善称弟，遣使请求和亲”，“不幸为贼臣所杀”的情况，提出要善意对待匈奴的相反策略，为宣帝所采。《汉书》说“是时大司农中丞耿寿昌奏设常平仓，上善之，望之非寿昌。”萧望之上书称“百姓或乏困，盗贼未止”，二千石以下官员“多材下不任职”，“三公非其人，则三光为之不明，今首岁日月少光，咎在臣等”。宣帝认为萧望之的意图在于批评年老的丞相丙吉，派好几位大臣诘问他。萧望之脱去帽子答辩，让宣帝很不高兴。[18] 这两条文献关于耿寿昌设常平仓的事有一年的差距，可能他关于设常平仓的上奏在五凤三年（公元前55年），实施则在次年（公元前54年）。 宣帝对耿寿昌在经济方面的作为很满意,赏赐他关内侯的爵位。 3建造杜陵 宣帝的陵墓杜陵始建于公元前65年。耿寿昌主持建造杜陵，事见《汉书·傅常郑甘陈段传》。此篇记载，解万年和陈汤讨论修建皇陵的事，提到：“大司农中丞耿寿昌造杜陵，赐爵关内侯，将作大匠乘马延年以劳苦秩中二千石”。[19] 这说明耿寿昌主持修造了杜陵，并且因此获赐关内侯的爵位。史籍没有提到其他人造杜陵，因此很可能耿寿昌开始主持杜陵建造的时间就在公元前65年。据上面所引《汉书》中《宣帝纪》和《食货志》，耿寿昌获赐关内侯的原因都是他在经济方面的出色工作，而未说是因为建造杜陵的缘故。由于解、陈是在成帝（公元前33-公元前7年在位）时代建陵，时间上晚了两朝皇帝，又是以此作为他们自己应该得到奖赏的根据，所以我们认为应以《食货志》和《宣帝纪》的记载为确。不论如何，即使主持修造杜陵是耿寿昌获赐关内侯的原因，也不会是唯一原因甚至不是主要原因。《汉书·元帝纪》说“初元元年春正月辛丑，孝宣皇帝葬杜陵”。[20] 初元元年正月辛丑在公元前48年2月6日，距离皇帝去世的时间不到一个整月，可见杜陵此前已经造修好了。修造皇陵是很复杂的事，耿寿昌的数学才能在其中应发挥了不可忽视的作用。 四、作为天文学家的耿寿昌 耿寿昌也是天文学家。《扬子法言》卷十云：“或问浑天。曰：落下闳营之，鲜于妄人度之，耿中丞象之，几乎！几乎！莫之能违也。”[21] 可见对于宇宙结构，耿寿昌持浑天说，还做过浑象（演示每日星空旋转、四季星空变化的仪器）,演示效果很好。《后汉书·律历志》记贾逵论曰：“甘露二年(公元前52年)，大司农中丞耿寿昌奏：以图仪度日月行，考验天运状，日月行至牵牛、东井，日过〔一〕度，月行十五度；至娄、角，日行一度，月行十三度。赤道使然，此前世所共知也。如言黄道有验，合天，日无前却，弦望不差一日，比用赤道密近，宜施用。上中多臣校。”[22] 天文学史家认为其中的圆仪即浑仪，这份奏书反映了耿寿昌“在天文学史上是颇有造诣的人物”[23]。奏文中提到日月运行的情况和数据。大概因为这个缘故,同时在文献中又找不到西汉时期与“耿昌”相合的其他人物，所以《汉书·艺文志》著录的著作“耿昌月行帛图二百三十二卷”和“耿昌月行度二卷”两种，史学家都认为就是指耿寿昌的著作，而“耿昌”应为“耿寿昌”之脱讹。[24] 遗憾的是，这两种著作都未见于《隋书·经籍志》及以后目录学著作的著录，遑论保留至今。大概它们都在隋代就失传了。耿寿昌善于数学，他的上奏提到日、月运行的度数和“用黄道有验”，“比用赤道密近”，可见他认为采用黄道坐标系有优越性，这也同时说明他的天文工作发挥了其数学才能。 五、作为数学家的耿寿昌 耿寿昌在学术史上最重要的工作是整理《九章算术》，对此问题的论述需要花费不少笔墨。笔者在“先秦秦汉史”公众号2023年6月10日已登载的拙文《论“斛”的始用早于新莽时代和〈九章算术〉由耿寿昌编定——基于对《汉书》中“斛”、“石”的用例做概率分析的研究》证明了耿寿昌是《九章算术》的编定者，待发的拙文《恢复经典：耿寿昌整理〈九章算术〉的方式》拟探讨耿寿昌是如何编定《九章算术》的。耿寿昌在数学上的贡献由这两篇做详细的讨论，故此处从略。 小 结 耿寿昌应该是安定（在今甘肃泾川县或今河北辛集市）人，生于公元前100年前后，可能年少时就研习张苍的《九章算术》未完成本，培养了很高的数学才能。他在汉昭帝时期步入仕途。随着宣帝对吏治的整顿和人才的选拔，耿寿昌以很高的数学水平和善于运用数学方法解决问题的能力而受到重用。他很可能在公元前65年开始主持宣帝陵杜陵的建造，大约在此年或至迟在公元前61年开始担任大农司中丞。公元前61年，耿寿昌为赵充国靖边做后勤供应与保障工作。在五凤年间，他改革了过去通过漕运从关东向京师运送粮食的作法，直接从京师附近地区采购粮食，节省了大量的运费。他又提出增加海租，提高了财政收入。他设立了常平仓，平抑物价，既有益于百姓生活安定，也有助于政治稳定。公元前48年他负责宣帝安葬于杜陵的土木工程事宜。耿寿昌可能终其一生只做到了大司农中丞的职位，但他还是以其出色的工作获得了关内侯的爵位。他可能以此身份卒于公元前40年左右。 耿寿昌是天文学家，制造过天文仪器，利用黄道计算过日、月运行的度数，著有《月行帛图》232卷、《月行度》2卷，但均已失传。 耿寿昌是数学家，他很可能也写过自己的数学著作，但没有流传下来。 在张苍的基础上对《九章算术》进行整理删补，耿寿昌撰成《九章算术》编定本，后来成为中国传统数学最重要的经典，是此后近两千年中国数学的发展在问题、方法和思想上的源泉。这种成功能在很大程度弥补他自撰著作佚失的缺憾。虽然没有证据表明耿寿昌在科学原创性上有多么伟大的成就，但他对《九章》的定稿工作，足以使他值得被列入中国科学史特别是数学史上最重要学者的名单，理应受到更大的重视。 注释： [1] 脱脱等撰：《宋史》，北京：中华书局，1977年，第2551—2552页。 [2] 班固撰：《汉书》，北京：中华书局，1964年，第1575、1615、2759、1629页。 [3] 班固撰：《汉书》，北京：中华书局，1964年，第3372页。 [4] 班固撰：《汉书》，北京：中华书局，1964年，第1545页。 [5] 班固撰：《汉书》，北京：中华书局，1964年，第848-849页。 [6] 班固撰：《汉书》，北京：中华书局，1964年，第1546-1547页。 [7] 史为乐主编：《中国历史地名大辞典（增订本）》，北京：中国社会科学出版社, 2017年，第1191页。 [8] 范晔撰：《后汉书》，北京：中华书局，第703页。 [9] 史为乐主编：《中国历史地名大辞典（增订本）》，第1191页。 [10] 辛集市地方志编纂委员会编纂：《辛集市志》，北京：中国书籍出版社，1996年，第74页。 [11] 班固撰：《汉书》，北京：中华书局，1964年，第1141页。 [12] 班固撰：《汉书》，第235—259页。 [13] 《册府元龟》说：“耿寿昌，宣帝时为大司农丞。以善算为算工，得幸于上”（王钦若等编纂，周勋初等校订，《册府元龟》（校订本）第十册，南京：凤凰出版社，2006年，第10116页）。《太平御览》也有类似的说法。这是说，耿寿昌因为善于数学而担任算工，受到宣帝的宠信，之后才担任了大农司丞。算工可能是官府聘用的佐吏，主要从事计算工作。那么，耿寿昌是凭借出色的数学才能由佐吏转入官僚系统的。但也有可能这一说法是对《汉书》所说耿寿昌“以善为算、能商功利得幸于上”想象的结果，他可能本来就是官员，只是由于数学能力好并用来解决很多问题而受到重用。 [14] 班固撰：《汉书》，第253页。 [15] 班固撰：《汉书》，第2984页。 [16] 班固撰：《汉书》，第1141页。 [17] 班固撰：《汉书》，第268页。 [18] 班固撰：《汉书》，第3279-3280页。 [19] 班固撰：《汉书》，第3023-3024页。 [20] 班固撰：《汉书》，第279页。 [21] 汪荣宝撰：《法言义疏》，北京：中华书局，320页。 [22] 范晔撰：《后汉书》，北京：中华书局，1973年，第3029页。 [23] 陈美东：《中国科学技术史·天文学卷》，北京：科学出版社，2003年，第143-144页。原文的“图仪”，陈美东引作“圆仪”。可能“图”为“圆”之误。 [24] 如李俨根据《艺文志》，说“耿（寿）昌《月行帛图》二百三十二卷，《月行度》二卷”，括补了“寿”字。见李俨：《中国数学大纲》（修订本）上册，北京：科学出版社，1958年，第31页。 |
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