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若问金庸江湖中哪套剑法最厉害，十有八九都会想到“独孤九剑”。那位俨如神话的剑魔独孤求败，终其一生欲求一败而不得，大抵是所有剑客们心向往之的至高境界。其实在数学江湖中也有一套“独孤九剑”，那便是被誉为“中国数学圣经”的《九章算术》。 《九章算术》作者不详，师承不明，无门无派，身世神秘，仿佛天外飞仙般突然降临江湖，一出现便惊艳了众生，引得历代名家尽折腰，甘愿殚精竭虑，纷纷为之作注，九章之学，遂成大宗。 如此经典，非圣贤不能为。魏晋数坛盟主刘徽归戴周公，“周公制礼而有九数，九数之流则《九章》是矣”，又云西汉张苍、耿寿昌曾“因旧文之遗残，各称删补”。若斯言足征，则《九章算术》之渊源，实可远溯千年，至迟于西汉初期已见成书，其后递经修订，于东汉初期已传定本。 刘徽（225～295），山东邹平县人，魏晋时伟大数学家，中国古典数学理论的奠基人之一，著有《九章算术注》和《海岛算经》。 正如“独孤九剑”有九式一样，《九章算术》当然也有九章，每章研习一术，分别是方田术、粟米术、衰分术、少广术、商功术、均输术、盈不足术、方程术、勾股术，合称“九术”，即九种算法，不过听起来怎么都像是武功秘诀或兵战奇略。 中国人重务实而轻务虚，《九章算术》亦不屑于纯粹的数理推演，凡所研习，莫不与社会生活息息相关。对此，刘徽曾有精辟的论述：方田者，“以御田畴界域”；粟米者，“以御交质变易”；衰分者，“以御贵贱禀税”；少广者，“以御积幂方圆”；商功者，“以御功程积实”；均输者，“以御远近劳费”；盈不足者，“以御隐杂互见”；方程者，“以御错糅正负”；勾股者，“以御高深广远”。 刘徽《九章算术注》 可见，《九章算术》所要解决的是诸如田亩丈量、粮食折换、商品交易、物资分配、土木工程、水利建设、赋税缴纳、徭役摊派、盈亏平衡等方方面面的问题，是基于现实的需要，而非偶发的兴趣，故而所要探究的也是如何计算面积、体积、容积，如何进行分数运算、比例运算、等差运算、正负数运算，如何开平方、开立方，如何求解多元线性方程组，如何运用勾股定理测高望远等实用实效的数学方法。 剑有剑招，算有算题，“独孤九剑”须得从一招一招练起，《九章算术》也得从一题一题做起。整部《九章算术》说到底就是一本算题集，共列举了二百四十六道算题，每题皆有问有答有解。这又好比二人对剑，一人出招，一人接招，至于如何见招拆招，则全赖“九术”之妙用。 看来欲有所进境，是非动手不可了。不妨就从每章各抽一题，以期略尽管窥之责。 例一箕田求积今有箕田，舌广二十步，踵广五步，正从三十步，问为田几何？（方田章） 这正是方田术最擅长的面积计算问题，由于常跟“田”打交道，故而“田”也就自然成为了各类图形的代称，诸如：“方田”指矩形，“圭田”指等腰三角形，“邪田”指直角梯形，“箕田”指等腰梯形，“圆田”指圆形，“宛田”指球冠形，“弧田”指弓形，“环田”指环形等等。不同的“田”有不同的面积计算公式，遂又衍生出种种专语，诸如：“广”为长，“从”为宽，“正从”为高，“舌”为上底，“踵”为下底，“周”为周长，“径”为直径等等。通晓了这些行话般的代称专语，修炼起方田术来，才能事半而功倍。 箕田术示意图 本题所求为箕田面积，“箕田术曰：并踵舌而半之，以乘正从”，翻译过来即： 等腰梯形面积＝1/2×（上底＋下底）×高 这个公式是不是很亲切？遥想幼学当年，稚气犹未了，强记硬背，百遍后，倒也滚瓜烂熟。在此直接套用即可： 箕田面积＝1/2×（20＋5）×30＝375步 汉制二百四十步为一亩，故答曰：“一亩一百三十五步。” 例二以粟换米今有粟一斗，欲为粝米，问得几何？（粟米章） 国以农为本，民以食为天，粮食在古代不但是赋税的大宗，交易时更堪比金银等硬通货，因此粮食的兑换和折算问题，一直是朝廷和官府的头等大事。〈粟米章〉开篇就明示“粟米之法”，列出了二十种谷物及米饭的换算比率，相当于一份汉代的粮食换算表，即以本题而言，粟率五十，粝米率三十。 粟是中国北方主要的粮食作物，俗称“谷子”，去壳后俗称“小米”，粝米就是糙米。本题的意思是，根据“粟米之法”所列的比率，问一斗谷子能换多少糙米？ 那么，具体该如何换算呢？这就要借助“今有术”。所谓“今有术”，其实就是四项比例算法，因每问开头常冠以“今有”二字，故得此诨号。其修炼口诀曰：“以所有数乘所求率为实，以所有率为法，实如法而一。”以公式表示即是： 所求数＝所有数×所求率／所有率 本题是以粟来兑换粝米，粟数为所有数，粝米数为所求数，粟率为所有率，粝米率为所求率。依今有术之法： 粝米数＝粟数×粝米率／粟率＝1斗×30／50＝0.6斗 汉制十升为一斗，故答曰：“为粝米六升。” 例三五爵分鹿今有大夫、不更、簪袅、上造、公士，凡五人，共猎得五鹿。欲以爵次分之，问各得几何？（衰分章） 古代以爵级为赐，大夫、不更、簪袅、上造、公士都是战国之初已有的官爵名称，爵数各有等差，依次为大夫五，不更四，簪袅三，上造二，公士一。本题要求将猎得的五只鹿，按爵级予以赏赐，分配比例即为爵数，问五爵各得多少？ 今有术解决的虽是按比例交换问题，但同样可以适用于此处的按比例分配问题，由此便形成了衰分术。衰（cuī）即差别之意，衰分即按差别来分配。本题所给出的算法是：“列置爵数，各自为衰，副并为法。以五鹿乘未并者各自为实，实如法得一鹿。” 所谓“列置爵数，各自为衰，副并为法”，就是把分配比例依次列出，以各率相加之和作为除数： 5：4：3：2：1 5＋4＋3＋2＋1＝15 所谓“五鹿乘未并者各自为实，实如法得一鹿”，就是用五鹿之数乘以五爵各自在分配总率中所占的比例，即可求得各自应得鹿数： 大夫应得鹿数＝5鹿×5／15＝1又2／3鹿 不更应得鹿数＝5鹿×4／15＝1又1／3鹿 簪袅应得鹿数＝5鹿×3／15＝1鹿 上造应得鹿数＝5鹿×2／15＝2／3鹿 公士应得鹿数＝5鹿×1／15＝1／3鹿 故答曰：“大夫得一鹿三分鹿之二，不更得一鹿三分鹿之一，簪袅得一鹿，上造得三分鹿之二，公士得三分鹿之一。” 本题中还涉及到了分数运算法则，这在〈方田章〉中有更为详尽的论述，包括约分（分数化简法）、合分（分数加法）、减分（分数减法）、乘分（分数乘法）、经分（分数除法）、课分（分数比较大小）、平分（分数求平均值）及大广田（带分数乘法）——千万别被它们古奥的名字唬住，其实都不过是最基本的分数加减乘除四则运算罢了，当代的初中生人人皆会。 例四积步开方今有积五万五千二百二十五步，问为方几何？（少广章） 少广术是已知面积或体积，而反求边长，相当于方田术和商功术的逆向运算，这就必然会涉及到开平方和开立方的问题。《九章算术》的开方术极为精彩，采用数形结合的方法，根据几何上“出入相补”的原理，“析理以词，解体用图”，显示了中国传统数学的特色，开创了后来开更高次方和求高次方程数值解之先河。特别令人惊异之处，是指出了存在有开不尽的情形，“若开之不尽者，为不可工”，并给这种不尽根数起了一个专门的名字——“面”。 本题是一道简单的开平方题，欲求55225的平方根。《九章算术》用的是古老的算筹，先摆出开方数式，再通过移动算筹而借位，比之普通的加减乘除四则运算要复杂得多。本题答曰：“二百三十五步。” 例五阳马求积今有阳马，广五尺，袤七尺，高八尺。问积几何？（商功章） 阳马不是马，而一种特殊的锥体，本题所要求的就是这种锥体的体积，这正是商功术的看家本领。在动手计算之前，先得介绍一下立体图形家族的诸位成员。 最熟悉的当然是长方体，在家族中排行最大，辈份最高，许多锥体和柱体都是由它演变而来的。 将长方体沿对角面斜分为二，得到两个一模一样的三角棱锥，称为“堑堵”，其体积是长方体的一半。 堑堵 再沿堑堵某一顶点与相对的棱剖开，得四角棱锥和三角棱锥各一个。四角棱锥以矩形为底，另有一棱与底面垂直，称为“阳马”；余下的三角棱锥是由四个直角三角形组成的四面体，称为“鳖臑”（biē nào）。 合两鳖臑而成一阳马，合三阳马而成一立方。故本题解法是：“广袤相乘，以高乘之，三而一。”也就是以阳马矩形底面的长乘以宽，再乘以阳马的高，得出未剖分前长方体的体积，除以三即为阳马的体积。答曰：“九十三尺少半尺。” 商功术天天应对的都是建房、造屋、筑城、修堤、挖沟、开渠等土木水利工程问题，所遇到的怪咖自然不止以上几位，还有“刍童”、“刍甍”、“曲池”、“盘池”、“冥谷”等等。“刍童”指的是上下底皆为矩形的拟柱体，刍甍指的是上底为一棱、下底为一矩形的拟柱体，至于“曲池”、“盘池”、“冥谷”则都是长方台体，计算方法大同小异。 例六四县均输今有均输粟，甲县一万户，行道八日；乙县九千五百户，行道十日；丙县一万二千三百五十户，行道十三日；丁县一万二千二百户，行道二十日，各到输所。凡四县赋，当输二十五万斛，用车一万乘。欲以道里远近、户数多少，衰出之，问粟、车各几何？（均输章） 所谓“均输”，就是平均分配运输负担。本题中县户有多少之差，行道有远近之异，欲其均等，故各令行道日数约户为衰分，行道多者少其户，行道少者多其户。 甲县衰分＝10000户／8日＝125 乙县衰分＝9500户／10日＝95 丙县衰分＝12350户／13日＝95 丁县衰分＝12200户／20日＝61 已知衰分，就可以运用前已熟悉的衰分术，很容易地计算出各县当输的粟数和当用的车数了，答曰：“甲县粟八万三千一百斛，车三千三百二十四乘。乙县粟六万三千一百七十五斛，车二千五百二十七乘。丙县粟六万三千一百七十五斛，车二千五百二十七乘。丁县粟四万五百五十斛，车一千六百二十二乘。” 这只是均输术最正经的应用，事实上，它还可以解决一些不大重要却很有趣的小问题，例如数学史上著名的“凫雁相逢”问题： 今有凫起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海。今凫雁俱起，问何日相逢？（均输章） 凫即野鸭，雁即大雁，野鸭从南海飞到北海需要七天，大雁从北海飞到南海需要九天。野鸭和大雁同时分别从南海和北海出发，问多少天可以相遇？ 凫雁相逢 本题虽然简单，却包含了均输术中的时日、路程、速度等几乎所有的元素，是典型性非典型题，反映了中国古代在处理与比例分配相关的分数运算时的基本思维——“齐同”，化异分母为同分母叫“同其母”，要保持分数值不变，还必须“齐其子”，母同子齐以后才可以进行加减运算。所以，“凫雁相逢”的解法是：“并日数为法，日数相乘为实，实如法得一日。”也就是说，以各自需要的天数之和为除数，以各自需要的天数之积为被除数，这样就得到日数。答曰：“三日十六分日之十五。” 例七人共买物今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四。问人数、物价各几何？（盈不足章） 题目意思是几人合买一物，每人出钱八块，则多三块，是为盈余；每人出钱七块，则少四块，是为不足。问人数和物价各是多少？ 这是典型的盈不足问题，自然必须用盈不足术。盈不足术跟衰分术一样，也是由今有术衍生而来。由于往往要面对盈和亏两种情形，需要通过两次假设来求得结果，所以在欧洲又被称为“双假位法”，亦译作“迭借互征”。盈不足术能处理各种隐而不见、杂乱无章的数量关系问题，因此又被誉为“万能算法”，称霸数坛。 《九章算术》所给出的盈不足术公式相当繁复啰嗦，反而刘徽的注更为简捷，在此无暇赘述，还是直奔主题为上。 首先计算人数。每人两次出钱，相差为8－7＝1，这是所谓“一人之差”。而“盈不足为众人之差”，也就是说由于每人两次出钱都差一点，导致了最后有3个“众人之差”，大家相差的就是盈余的3块钱和不足的4块钱之和，“众人之差”是7块钱。“以一人之差约众人之差，故得人数也”，以7除以1，即得知人数是7人。 再来计算物价。每人出钱8块，买1物，多钱3块；若买4物，则需出钱8×4＝32块，多3×4＝12块。每人出钱7块，买1物，少钱4块；若买3物，则需出钱7×3＝21块，少4×3＝12块。两次盈亏等同，可以互相抵消。两次出钱之和＝8×4＋7×3＝53块，共计买得4＋3＝7物。前已算得人数是7人，可知物价是53块钱。故答曰：“七人，物价五十三。” 例八五家共井今有五家共井，甲二绠不足，如乙一绠；乙三绠不足，如丙一绠；丙四绠不足，如丁一绠；丁五绠不足，如戊一绠；戊六绠不足，如甲一绠。如各得所不足一绠，皆逮。问井深、绠长各几何？（方程章） 成语“绠短汲深”，可谓是本题的绝佳写照。绠即提桶汲水的绳子，这里是说五户人家共用一口井，各家都有提水的绳子，但都不够长。甲家的两条与乙家的一条合起来够用，乙家的三条和丙家的一条合起来够用，丙家的四条与丁家的一条合起来够用，丁家的五条与戊家的一条合起来够用，戊家的六条与甲家的一条合起来够用。问井深和各家的绳长？ 五家的绳长都是未知，井深亦是未知，如此便有六个未知数，一般算法当真应付不来，必得方程术来大显身手。题中历数了两户合用的五种情形，自可相应列出五个方程式。假设五家绳长依次为a、b、c、d、e，井深为h，则有： 2a+b=h ① 3b+c=h ② 4c+d=h ③ 5d+e=h ④ 6e+a=h ⑤ 这是一个多元一次不定方程组，可以有多解，《九章算术》给出了一组，答曰：“井深七丈二尺一寸，甲绠长二丈六尺五寸，乙绠长一丈九尺一寸，丙绠长一丈四尺八寸，丁绠长一丈二尺九寸，戊绠长七尺六寸。”汉制七丈二尺相当于现今的17米有余，的确是一口超乎寻常的深井，难怪五家的绳子都不够长。 在方程的运算中，常常会遇到加减正负的问题，这就是所谓的“正负术”。正负术曰：“同名相益，异名相除，正无入负之，负无入正之。其异名相除，同名相益，正无入正之，负无入负之。”这句口诀里包含了两个概念——“正数”和“负数”。“同名”就是同号，“异名”就是异号，“相益”表示相加，“相除”表示相减。 例九引葭赴岸今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺。引葭赴岸，适与岸齐。问水深、葭长各几何？（勾股章） 这是一道很有趣的题，说的是有一个边长为一丈的方形水池，正中央长着一根芦苇，露出水面一尺。若将芦苇稍头垂直拉到岸边，顶端恰好与岸齐平。问水有多深？芦苇有多长？
勾股定理 要解这道题，先需认识勾股定理，而欲认识勾股定理，还得从规矩说起。规矩是从古至今常用不衰的画图工具，规以画圆，矩以画方。矩就是直角尺，若将三边连接，就是一个标准的直角三角形。无论是测量面积、体积、容积、高度、广度、深度，都离不开直角三角形，因此直角三角形三边长度的关系式是测量术的基石。这个关系式就是大名鼎鼎的勾股定理，西方称为毕达哥拉斯定理，而在《九章算术》中则称为“勾股术”，其诀曰：“勾股各自乘，并而开方除之，即弦。”直角三角形的两条直角边，短者叫勾，长者叫股，另外一条斜边叫弦。换言之，即是说直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。设勾为a，股为b，弦为c，则a2+b2＝c2。据《周髀算经》记载，西周初年的数学家商高曾向周公讲过“勾三股四弦五”，即32+42＝52，这是勾股定理最著名的特例。 勾股定理是数学史上惊心动魄的大发现，甚至有“故禹之所以治天下者，此数之所生也”的神话。而在古希腊更引起了一桩谋杀案，当时的大数学家毕达哥拉斯发现了这个定理，并将之扩大到哲学领域，提出了“万物皆数”（指有理数）的观点。他的弟子希伯索斯却发现正方形的对角线与边长不可公度，若正方形边长为1，则对角线是个无理数，这当然与毕氏学说相违背。毕达哥拉斯为保住毕氏学派的统治地位，便残忍地将希伯索斯扔进了大海。其实，希伯索斯只是颠覆了“万物皆数”的观点，并没有推翻勾股定理。时至今日，勾股定理仍然是最基本的几何定理之一。 掌握了勾股定理，要解本题就易如反掌了。《九章算术》给出的解法是：“半池方自乘，以出水一尺自乘，减之。余，倍出水除之，即得水深。加出水数，得葭长。”
引葭赴岸 设池边长一半为a，池深为b，葭长为c 按题意，已知a＝5尺，c-b＝1尺 用勾股定理 a2+b2＝c2，可以得出 水深b＝[a2－(c－b)2]／2(c-b)＝(52－12)／2＝12尺 葭长c＝b＋1＝13尺 故答曰：“水深一丈二尺。葭长一丈三尺。” “引葭赴岸”的故事宋代时还流传到了印度，被印度数学家拜斯迦罗本土化为“风吹荷花”问题： 湖静浪平六月天，荷花半尺出水面。 忽来南风吹倒莲，荷花恰在水中淹。 湖面之上不复见，入秋渔夫始发现。 落花去根三尺整，试问水深尺若干？ 此题显然与“引葭赴岸”如出一辙，诗中有画，画中有题，妙趣横生。即使不做题，单纯欣赏这诗画中的意境，亦足畅怀。 至此，“九术”总算一一亮过了身手，但若要修炼得炉火纯青，只这般走马观花一番，显然是远远不够的，先得把二百四十六道题全做一遍才是正途。 “独孤九剑”之所以厉害，在于能克敌致胜，倘若只图花哨卖弄，遇敌时一触即溃，又怎配得上“剑魔”的威名？《九章算术》亦同此理，能真真切切解决现实问题的数学，才是活泼泼有生命力的数学。《九章算术》所归纳的种种算法，如今看来虽已不再高深，却依然被广泛应用于各个领域，非但有功于当时，亦且有裨于后世，“圣经”之誉，诚不负哉！ 编辑/银涵 |
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