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小明为初中生，他的邻居小亮是高中生.小明有一块形状为直角三角形的布料，一天，他和小亮一起去裁缝店，请求裁缝裁从中剪成面积最大的正方形布料，只见裁缝不慌不忙地量得两直角边分别为40cm、60cm ，一口说出正方形的边长为24cm，小明目瞪口呆，读者朋友，你知道裁缝是怎么计算出来的吗？这便是勾股容方问题，要知道其中的原因，我们先到中国古代名著《九章算术》中去寻找答案吧！小亮：我看到你工作台旁边有一本《九章算术》，看样子你喜欢研究数学.我想起了我国著名的数学家华罗庚在杂货店当学徒时，也喜欢钻研数学.《九章算术》被历代数学家尊为“算经之首”，共收集246个数学问题，有些算法比欧洲算法早1500多年，对世界数学产生了深远影响.它与古希腊欧几里得的《几何原本》并列的世界两大数学体系的代表作.裁缝：嗯，勾股容方源于《九章算术》第九卷《勾股》章第十五题；“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？答曰:方三步十七分步之九.翻译成现代汉语为“直角三角形中短的直角边（称为勾）为5步，长的直角边（称为股）为12步，问该直角三角形能容纳的正方形边长是多少？答：边长为 步.如图1，直角三角形 中内接正方形DGCF .直角三角形勾 ，股 ，答案：以勾5步、股12步之和为分母（并勾股为法）；以勾5步股、12步之积为分子（勾股相乘为实）得勾中容方边长 .勾股容方的意思就是由三角形勾、股长度可以求出如图内接正方形的边长.例1、在图1中，若 ， ，设正方形 的边长是 ，则 .小明：该如何进行证明呢?可以重新拼图，将题目中的图形等积变形如图2.小亮：这种方法是小学的拼接方法，用初中的方法，也可以求解，那就是第二种方法——相似三角形.裁缝：还有一种简单的方法进行证明，看完这篇文章后，我们就会知道了.这个题目边长求出来后，面积也可求，其余各三角形边长、面积也就迎刃而解.这个问题也可以拓展和延伸，大家想一想.小明：我先来.勾股容方变式一（已知两个小直角三角形两条直角边（勾、股分别减去正方形边长所得的线段）的长，也能求出正方形的边长.）小亮：我再换个角度，勾股容方变式二 （已知两个小直角三角形斜边的长，也能求出正方形的边长.）例3、如图1，直角三角形 是由两个小三角形和一个正方形拼成的.已知 ， ，求正方形 的边长.小亮沉思了一会，用小学的方法不好做了，可以用初中的相似与勾股定理.设正方形 边长为 ，那么根据三角形相似，图中各边都能用 及 的代数式表示出来，即 ，，，，， 根据勾股定理有 ，代入得小亮：做出来了，哎，勾股容方中，正方形是面积最大的正方形吗？请看下题.例4、在图1中，所示正方形与边长位于斜边上的内接正方形相比，谁的面积更大？请说明理由？如图5，两个全等的直角三角形能拼成一个矩形，在直角三角形 中，正方形的一边落在 上，另两个顶点在 和 上，设 ，，，，则 ，，小亮：对于直角三角形内接最大正方形问题，教辅书上提供了一些方法，这种方法是一种新方法，在证明的过程中恰好利用例3中的结论 ，另外 这一不等式，初中成绩好的同学可以了解，能扩大我们的知识面，提高学习兴趣.另外在高中还要深入地学习.这样，证明了直角三角形内接最大正方形的问题之后，可应用到实际生活中.小明：至此，明白了裁缝的算法：边长为 ，没想到裁缝读的书那么多，其实裁缝也是数学爱好者.例5、如图6，有一块菱形的地砖，要求切割成面积最大的正方形，工人师傅量了两条对角线的长度分别为 40cm 和 60cm ，一口说出这个方形的边长为 24cm，你知道其中的缘由吗？小明：一个菱形恰好由四个全等的直角三角形组成，与例4类似，可以证明图6中的正方形面积是最大的，菱形可分成四个全等的直角三角形，每个三角形中都有面积最大的正方形，边长为 ，所以拼成的大正方形的边长为 .小亮：本题由直角三角形内接正方形问题过渡到菱形内接正方形问题，又巧妙借用了菱形对角线相互垂直的特点，解决了实际问题，本质没有区别，陶行知先生提出的生活即教育，显示了生活中处处用到数学.布料和瓷砖问题则是多题归一，即寻求规律.裁缝：还可以将问题进行延伸.勾股容方变式三（已知两个小直角三角形斜边的长，求这两个小直角三角形面积的和.）例6、如图7，直角三角形 是由甲、乙两个小三角形和一个正方形拼成的.已知 ，，求 .（改编自2013年徐州市小学毕业考试题）裁缝：此题的解法很多，有十几种，我们这里只看两种，裁缝：关键是辅助线的作法，有一些同学想不起来，对于证明三角形全等的过程学生比较熟练，此法是常规解法.再看第二种解法：无字证明 
小明和小亮瞪大了眼睛，一会，小亮笑了:一图一世界. 小亮：如图9中，左边4个小直角三角形围成的正方形与四个大直角三角形围成的正方形面积之和等于右边大正方形的面积，都减去边长分别为、的正方形的面积，可得裁缝：勾股容方相关问题，在小学、初中、高中及国外试卷中，都曾出现，显出了极大的魅力.例6就为小学阶段的考查.下面来看一道初中阶段的中考题.例7、如图10，在直角三角形 中， 为斜边 上一点，，，四边形 为正方形，求阴影部分的面积.（2006年山东省滨州市中考试题）小亮：参考答案是初中的方法，如果学生用小学的旋转拼接去解，显然最为简单.下面一道题目为高中题目，我们一起来思考.例8、《九章算术》中“勾股容方”问题:“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何?”魏晋时期数学家刘徽在其《九章算术注》中利用出人相补原理给出了这个问题的一般解法:如图11，用对角线将长和宽分别为 和 的矩形分成两个直角三角形，每个直角三角形再分成一个内接正方形(黄)和两个小直角三角形(朱、青). 将三种颜色的图形进行重组，得到如图12所示的矩形,该矩形长为 ，宽为内接正方形的边长 .由刘徽构造的图形还可以得到许多重要的结论，如图13.设 为斜边 的中点，作直角三角形 的内接正方形对角线 ，过点 作 于点 ，则下列推理正确的是( )(2020湖南常德一中高三月考)
小明：由图11和图12面积相等，可得，于是，所以（1）正确.刘徽的方法真实妙呀，显出了出入相补原理的巨大威力！我国数学家吴文俊曾建议把出入相补原理写进教材呢！小亮：（2）（3）（4）中含有AE、AF、AD，首先需要把这三条线段用a、b的代数式表示出来.由图13等积变形，裁缝：没想到用勾股容方还能证明基本不等式呀，数学世界确实很奇妙！我们再把化简，也可以得到，能化简成也是显然的！接下来我们来欣赏美国日历数学中的勾股容方题目，看看异国的风情.例9、如图14，在 中，，，，正方形 为 的内接正方形，求此正方形的面积.解：设正方形的边长为 ，则 ，， 因为 ，所以 ，所以，即，解得，所以，故此正方形的面积为.小明：通过前面内容的研究，现在思路已经清楚了，这是运用正方形及相似三角形的性质即可求解，显然也可以运用勾股容方的结论先求正方形的边长.例10、如图15，在 中，，，，正方形 为 的内接正方形，求此正方形的面积.小亮：此类内接正方形有一条直角边在直角三角形的斜边上，例9和例10中哪个正方形的面积大呢？我们只需比较边长，，，故三个顶点在三边上，一个顶点是三角形的直角顶点，此时正方形的面积大.这是具体的例子，对于一般情形的证明过程见例4.小明：真没想到美国数学中也有勾股容方的内容，并且这两个题目很有代表性，例9朴素大方，例10简约而不简单，还可以把这两个题目进行比较研究。我们再回过头来看例1，图中有三个直角三角形相似，相似比是多少呢？裁缝：勾股定理是以直角三角形三边为边长向外分别做三个正方形，两个小正方形面积的和等于大正方形的面积，而勾股容方则是研究直角三角形内部的正方形，直角三角形有了外延和内涵，数学也充满了魅力.小明、小亮和裁缝一起感叹：学习数学，就要用数学的眼光观察世界，用数学的思维思考世界，会用数学的语言表达数学世界，牛年，我们一起加油！[1]汪晓勤. 从“勾股容方”到均值不等式[J].数学通报，2015（2）[2]罗伟.越学解法越复杂?——从一道跨越中小学各学段的题目说起[J].数学教学，2016(5)[3]罗伟.由勾股容方想到的[J].数学通报2017(9)
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