勾股定理证明中商高“积矩图”与刘徽“青朱出入图”新解

冷月当空mql 2019-09-16

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原文地址：勾股定理证明中商高“积矩图”与刘徽“青朱出入图”新解作者：

图1 商高积矩法对于勾股定理的一般性证明

　　中国成书于公元前1世纪的《周髀算经》对勾股定理应用的记载为迄今所见存世最早：“昔者周公（注：公元前11世纪周武王的大臣）问于商高（注：学者）曰：'窃闻科大夫善数也，请问古者包牺立周历度。夫天不可阶而升，地不可得尺寸而度，请问数安从出？’商高曰：'数之法，出于方圆。圆出于方，方出于矩，矩出于九九八十一。故折矩，以为勾广三，股修四，径隅五。既方之，外半其一矩，环而共盘，得成三四五。两矩共长二十有五，是谓积矩。故禹之所以治天下者，此数之所生也。’”

　　基于上述渊源，中国学者一般把此定理叫做“勾股定理”或“商高定理”。

　　商高的回答实际上是对勾股定理的最早几何证明，赵爽评价这个陈述“将以施于万事，而此先陈其率也”，汉文化中习惯性以“一生二、二生三、三生万物”、“九九归一”来概括一切现象，而“勾三股四弦五”正是这种文化习惯的表现，只有一般性证明之后才能找到这样的特例。这个证明过程，一直被错误地被认为是一个经验性代入数描述，其证明方法“积矩法”的名称也一直未能得到正名，则是对于这种语言习惯的理解偏差。

　　试译之：将一个长方形对角折叠得到两个直角三角形，比如矩形宽三为勾，长四为股，则像墙角一样的折痕为直角三角形的弦，其长必五，（为什么不是5.01或者4.99呢？如果说《周髀算经》的表述为特例表述，那么到这里就已经结束了，因为 3²+4²=5²已经无需证明了）这不是一个测量出来的经验值，试证之：先将矩形勾边和股边外引正方形，复制折痕的外半边矩形，弦边首尾相接环成一个边长为三加四等于七的大正方形“共盘”，这个“共盘”内接三个分别为勾、股、弦为边的正方形，简称勾方、股方、弦方，边长分别为三、四、五，其中勾方九加股方十六和为二十五，与“共盘”内接的积弦为方的矩形面积相等（这个内接弦方的面积等于“共盘”减去用来“环而共盘”的四个三角形，即七七四十九减三四一十二除以二乘以四，等于四十九减二十四，得二十五）。

　　剔除特例用纯数学语言描述即：将一个矩形对角折叠得到两个直角三角形，矩形宽为勾，长为股，则像墙角一样的折痕为直角三角形的弦。先将矩形勾边和股边外引正方形，复制折痕的外半边矩形，勾股交错首尾相接环成一个大正方形“共盘”，边长为勾股之和，这个“共盘”内接三个分别为勾、股、弦为边的正方形，简称勾方、股方、弦方。其中勾方加股方为“共盘”减去两个原始矩形，弦方面积为大正方形“共盘”减去用来“环而共盘”的四个前面折叠所得三角形，积为两个原始矩形。这样勾方股方之和与弦方均为“共盘”减去四个直角三角形累积成的两个原始矩形，即勾方股方和等于弦方。这就是所谓的“积矩”，如图1。

　　这显然是一个放之四海而皆准的一般性证明，不能因为不懂得文言的描述习惯，而刻舟求剑地怀疑古人的智慧。犹如“九九乘法表”，“九九”二字涵盖一切，显然古人并不只知道“九九八十一”，他们对于“三七二十一”也不陌生。

　　赵爽约在222年深入研究了《周髀算经》，为该书写了序言，并作了详细注释。其中一段530余字的“勾股圆方图”注文给出了另外一种证明方法，这个证明被认为是中国数学史上见诸文献的最早的一般性证明。

图2 三国吴　赵爽　弦图

　　他将勾股定理表述为：“勾股各自乘，并之，为弦实。开方除之，即弦。”

　　证明方法叙述为：“按弦图，又可以勾股相乘为朱实二，倍之为朱实四，以勾股之差自相乘为中黄实，加差实，亦成弦实。”这个叙述很明确地将自己的证明归结为“又”，即商高基础上的另一种证明法。

　　翻译出来就是：如图2，用勾（a）和股（b）相乘（a×b）等于两块红色三角形的面积，乘以二（2ab）即为四块红色三角形的面积，以勾（a）股（b）的差（b-a）再平方即为中间的黄色正方形，所有四个红色三角形的面积加这个黄色正方形的面积，即为弦（c）为边长的正方形的面积。

　　数学表达式为：c²=(a-b)²+2ab=a²+b²-2ab+2ab=a²+b²

　　41年后，三国时代魏国的数学家刘徽在魏景元四年（即公元 263 年）为古籍《九章算术》作注释。也提出了一个勾股定理的证明，用的以形证数的方法，刘徽的证明原也有一幅图，可惜图已失传，只留下一段文字：“勾自乘为朱方，股自乘为青方，令出入相补，各从其类，因就其余不动也，合成弦方之幂，开方除之，即弦也。”

　　后人根据这段文字补了一张图，如图3。大意是：直角三角形，以勾为边的正方形为朱方，引弦为正方形切割朱方和青方，多出的部分正好可以和弦方缺亏的部分相补。弦方再开方即为弦长。