两个数学风车与伟大的毕（勾）氏（股）定理的证明

什么定理是最伟大的定理？很多数学家会回答，是毕（勾）氏（股）定理。中学所学到的很多几何定理，很多是“甚至连驴子都能看出来的不证自明的真理。”但毕（勾）氏（股）定理不是的。Dunham在他的《天才引导的历程——数学中的伟大定理》中说，毕达哥拉斯定理证明了一个非常其他的事实，其奇特性之所以不被认识，仅仅是因为这个结论太著名了。

常常令我们引以为傲的数学成就是所谓的勾股定理。这个名称来自于下面的记载。中国成书于公元前1世纪的《周髀算经》第一次记载了勾股定理的应用：“昔者周公问于商高曰：‘窃闻科大夫善数也，请问古者包牺立周历度。夫天不可阶而升，地不可得尺寸而度，请问数安从出？’商高曰：‘数之法，出于方圆。圆出于方，方出于矩，矩出于九九八十一。故折矩，以为勾广三，股修四，径隅五。既方之，外半其一矩，环而共盘，得成三四五。两矩共长二十有五，是谓积矩。故禹之所以治天下者，此数之所生也。’”

其中“…故折矩，勾广三，股修四，经隅五。”意为：当直角三角形的两条直角边分别为3（勾）和4（股）时，则径隅（弦）为5。这就是我们常说的“勾三、股四、弦五”。

（3,4,5）是一对所谓的勾股数组。仅仅注意到这样的勾股数组的发现不足以称为定理。即使是现象，也还有比中国更早的发现者。例如，公元前三千多年前的古巴比伦人就知道许多勾股数组。古埃及人也知道不少。

公元前18世纪记录各种勾股数组的巴比伦石板

所以重要的是证明。

西方一般称我们所谓的勾股定理为毕达哥拉斯定理。例如，5世纪的普罗克勒斯给欧几里德的名著《几何原本》做注解时将最早的发现和证明归功于毕达哥拉斯学派：

“如果我们听听那些喜欢说古代历史的人，他们把这个定理归于毕达哥拉斯，并且说他杀了一头公牛来庆祝。”

但实际上，我们没有历史证据表明毕达哥拉斯证明了这个以他的名字命名的定理（或说毕达哥拉斯学派的证明没有流传下来）。在西方，是欧几里得在其《几何原本》第一册的第47个命题中第一次给出了清晰明确的证明。

正如普罗克勒斯说的：“对我来说，虽然我欣赏那个第一个观察到这个定理的人，我更叹服《原本》的作者。不光是因为他给出了清晰明确的证明，而且还因为他用无可置疑的方法在第六篇中证明了一个更一般的命题。”

在中国，则是东汉末年吴国的赵爽最早给出勾股定理的证明。

欧几里得和赵爽的证明图形都酷似我们常见的风车。我相信，各位读者也熟悉证明中用到的“风车”图形，只是可能有些忘了证明细节。我们这里就来复习下。

欧几里得的证明

我们对勾股定理常常是这样叙述的：直角三角形两条直边的平方和等于斜边的平方和。这是一个代数描述。但在欧几里得时代，代数学并没有发展到这个程度。他们是用几何来叙述的。勾股定理是一个融代数与几何于一炉的定理。

欧几里得的《几何原本》名题I.47:

在直角三角形中，斜边上正方形面积等于两个直角边上的正方形的面积之和。

                                               风车图I

为证明这个定理，在我们上面的风车图中，就是要证明

正方形 ABIH （蓝+红）的面积等于正方形 BCED（红）、ACFG（蓝）的面积之和。

证明方法实际已经显示在图形中了。将正方形自然分成两部分，两个长方形，只要证明蓝色正方形的面积等于蓝色长方形的面积；红色正方形的面积等于红色长方形的面积。

我们只说明前者，后者类似。

蓝色正方形面积

=2倍三角形ABG的面积（同底登高）

=2倍三角形AHC的面积（三角形AHC和ABG全等）

=长方形AHKJ的面积。（同底登高）

欧几里得的这个风车，我相信各位在教科书中一定见过，或许忘了其证明而已。现在复习下，可能会觉得恍然大悟吧。数学的学习，往往就是这样。学习的时候，会明白其正面；但之后会忘记，再次复习一遍之后，可能会终身不忘。

我们下面请读者欣赏下从古到今，被各国人民认识的风车图：

赵爽的证明

另一个著名的风车图也在很多地方出现。这就是中国三国时期的赵爽对《周髀算经》做注释时证明勾股定理用到的弦图。

这个图出现在2002年在北京举办的世界数学家大会的会标中。

“该图形旋转起来很像一个风车，既反映中国人在数学研究中的创新精神，又代表了热情好客的中国人民的心愿，“欢迎世界各国的数学家到中国来参加第24届国际数学家大会”。选择它作为第24届国际数学家大会的会标是非常有意义的。因为它一方面代表了中国古代的数学家研究勾股定理所做出的数学贡献，我们在记住这个图标的同时也记住了中国古代的数学家赵爽证明勾股定理的方法，是一个具有丰富内涵与象征的图标。”（来源：http://amuseum.cdstm.cn/AMuseum/math/3/3_24/3_24_1002.htm）

如果您订阅了杂志《数学文化》，应该熟悉中西合璧的封面背景：希腊雅典的帕特农神庙和赵爽弦图。帕特农神庙既代表了希腊数学，也代表了具有黄金分割的几何美；赵爽弦图则是中国古代数学成就的代表作，有着代数美，在视觉上也很漂亮。

 

赵爽，又名婴，字君卿，是我国古代数学家、天文学家。三国时吴国人，一说魏晋人。他约在222年深入研究了《周髀算经》，为该书写序作注。他的成果记录在《九章算术》中。特备令人瞩目的是其中一段530余字的“勾股圆方图”注文，这是中国数学史上对勾股定理的第一次证明。

与希腊数学不同，中国重视代数。赵爽对勾股定理的表述，也是代数式的： “勾股各自乘，并之，为弦实。开方除之，即弦。” 翻译：勾（a）和股（b）各自乘，就是指a*a= a²,b*b=b²；并之，，为弦实，就是a²+b²得到c²；开方除之，即弦，就是c²开方得到c。

赵爽证明方法叙述为：“按弦图，又可以勾股相乘为朱实二，倍之为朱实四，以勾股之差自相乘为中黄实，加差实，亦成弦实。” 翻译：用勾（a）和股（b）相乘（a×b）等于两块朱实（红色三角形）的面积，乘以二（2ab）即为四块朱实的面积，以勾（a）股（b）的差（b-a）再平方即为中黄实（中间的黄色正方形），所有四个红色三角形的面积加这个黄色正方形的面积，即为弦实（弦（c）为边长的正方形的面积）。

数学表达式为：c²=(a-b)²+2ab=a²+b²-2ab+2ab=a²+b²

我们也请读者欣赏下历史上的相关图。

这两个风车，加上唐吉可德的风车，可能是历史上最著名的三个风车了吧？