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勾股定理的这些美妙的证法你知道吗?

2017-05-07  石头不沉

本文来源:《数学不了情》

作者:谈祥柏

如果直角三角形的直角边长为a和b,斜边长为c,那么,a2+b2=c2。公元前6世纪,古希腊杰出的数学家毕达哥拉斯(Pythagoras)首先从理论上证明了这个定理后,欣喜若狂,宰了100只牛来表示庆祝,因此这个定理又被人叫做“百牛定理”。不过,有些历史学家不以为然,认为不过是用面粉做了100头牛作为贡品来酬谢神明而已。


在我国,有一部流传下来的、最早的数学与天文著作。名叫《周髀算经》,成书于公元前100年左右,即西汉时期。书中有一段记载商高(生活在公元前11世纪的人)回答周公的话“勾广三,股修四,经隅五”,其意思是,如果直角三角形两条直角边长为3和4,则斜边长必定是5。书中还有一段陈子(公元前6世纪,周朝中期时人)答荣方问,他说:“若求邪至日者,以日下为勾,日高为股,勾股各自乘,并而开方除之,得邪至日”。这就说得更清楚了,如果用现代记法,便是  的意思。我们知道,在古汉语中,“邪”与“斜”是通假字。陈子的话,已十分明确地表达了现代勾股定理的内容。


我国古代几何学不但有悠久历史和丰富内容,而且具有自己独特的风格,我国古代几何学的特色之一是从实践中总结提高所形成的“出入相补”原理。一个平面图形从一处移置他处,面积不变;把图形分割成几块,则各部分面积之和等于原来图形的面积。


三国时期魏人刘徽(公元3世纪)在注《九章算术》勾股术时说:“勾自乘为朱方,股自乘为青方,令出入相补,各从其类”。其意思就是将“出”的割下,补到“入的地方”,其余部分保留不动(图1颜色区域)。我国著名数学家华罗庚先生曾建议把“青朱出入图”带上宇宙飞船,让外星人知道我们还能证明勾股弦定理,这是一个非常聪明的想法。

图1 青朱出入图


赵爽的“弦图”,证法也极简单。如图2所示,以弦c为一边的正方形,含有4个以a和b为直角边的直角三角形与一个以b-a为边长的小正方形,于是有

图2 赵爽的“弦图”


勾股定理的证明引起了古今中外许多人的兴趣,寻找新的证明方法从来没有间断过。真是百花齐放,推陈出新,人人都想插上一手。有人声称,3000年来,已经找到了400多种不同证法,但这仅仅是极不完全的统计,无人知道确切数字。这些证明者中间,上至达官贵人,下及贩夫走卒,包括各个阶层的人物。在中国古代的“畴人”(数学家的别称,有一本名著叫《畴人传》)中,知名者就有梅文鼎、项名达、杨作枚、李锐、陈杰、安清翘、何梦瑶,华蘅芳等,大家都不甘示弱,各有各的证法。日本的和算圣人关孝和(1642~1708)在其专著《解见题之法》(1682年出版)中有图证,据近人李潢考据,其方法与“青朱出入图”大同小异。


号称趣味数学三大名家之一的英国人亨利?杜登尼(H.E.Dudeney,1857~1930)于1917年发表了一个勾股定理的“风车证法”,只要在“股”上的正方形剪两刀即可证出,可以看出,两线的交点在正方形的中心,分别与“弦”平行或垂直,所得出的4个图形完全一模一样,非常美丽,而且对称(图3)。

图3 风车证法


说起对称,不能不提一提文艺复兴时期的意大利大画家达芬奇(Leonardo da Vinci 1452-1519),他在欧几里得《几何原本》的插图上,下各添加一个直角三角形(图4),就不难看出六边形ABHKJG与六边形ACBDEF是纵横合同的,前者轴对称(对称轴为GH),而后者中心对称(对称中心是弦上正方形的中心)。

图4 画家的巧妙证法


只要把两个六边形分别减去三角形ABC面积的两倍,就能立即看出,两条直角边上小正方形面积之和等于斜边上的大正方形面积。


旋转变换与两种对称性的巧妙结合,充分显示了达芬奇这位大画家的数学直觉与对称美感,令人由衷叹服大师的超人想像力——别人无论如何也不会想到六边形啊!


美利坚合众国第20任总统加菲尔德(J.A. Garfied)对此定理也深感兴趣,他在担任众议院议员时,曾在《新英格兰数学学报》上发表过一个极简单的证法,见图5。

图5 一位美国总统的证法


由图立即看出AB平行CD,于是ABCD为梯形。从而根据梯形面积公式得出

整理简化后即得出 a2+b2=c2。


本文已经写下不短,下面再来说几个作图非常容易的证法。

图6 面积证法


显然极易证明△ADC与△CDB都同原来的直角三角形△ABC相似(图6),于是根据有名的几何定理:


相似三角形面积之比等于对应边的平方之比”,

设△ADC,△CBD,△ABC的面积分别为S?,S?,S?,则

由于

所以 a2+b2=c2,证明完毕。

 

在平面几何这出大戏中,圆历来都是当主角的,它当然不甘寂寞,也要来表演一番。


由相交弦定理(图7),得

图7 相交弦定理


由于CB=CE,故有 

所以

 

由于△ABC是直角三角形,当然存在着外接圆,现在把他作出来,见图8,AB为直径。

图8 利用托勒密定理的证法



显然,BD=AC,AD=BC,CD=AB。


托勒密(ptolemy)定理告诉我们

把等量代人,立即得出 

另外,平面三角形中最重要的恒等式

其实也不过是勾股定理的乔装改扮而已!


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