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勾股定理的证明方法

2012-08-13  iversion
勾股定理的证明方法
广西桂平市大洋中学 覃祖海

勾股定理是初等几何中的一个基本定理。这个定理有十分悠久的历史,两千多年来,人们对勾股定理的证明颇感兴趣,因为这个定理太贴近人们的生活实际,以至于古往今来,下至平民百姓,上至帝王总统都愿意探讨和研究它的证明.下面结合几种图形来进行证明。

 

    

 

一、传说中毕达哥拉斯的证法(图1

 

左边的正方形是由1个边长为的正方形和1个边长为的正方形以及4个直角边分别为,斜边为的直角三角形拼成的。右边的正方形是由1个边长为的正方形和4个直角边分别为,斜边为的直角三角形拼成的。因为这两个正方形的面积相等(边长都是),所以可以列出等式,化简得

 

在西方,人们认为是毕达哥拉斯最早发现并证明这一定理的,但遗憾的是,他的证明方法已经失传,这是传说中的证明方法,这种证明方法简单、直观、易懂。

 

二、赵爽弦图的证法(图2

 

第一种方法:边长为的正方形可以看作是由4个直角边分别为,斜边为 的直

 

角三角形围在外面形成的。因为边长为的正方形面积加上4个直角三角形的面积等于外围正方形的面积,所以可以列出等式,化简得

 

第二种方法:边长为的正方形可以看作是由4个直角边分别为,斜边为

 

角三角形拼接形成的(虚线表示),不过中间缺出一个边长为的正方形“小洞”。

 

因为边长为的正方形面积等于4个直角三角形的面积加上正方形“小洞”的面积,所以可以列出等式,化简得

 

    这种证明方法很简明,很直观,它表现了我国古代数学家赵爽高超的证题思想和对数学的钻研精神,是我们中华民族的骄傲。

 

三、美国第20任总统茄菲尔德的证法(图3

 

这个直角梯形是由2个直角边分别为,斜边为 的直角三角形和1个直角边为

 

的等腰直角三角形拼成的。因为3个直角三角形的面积之和等于梯形的面积,所以可以列出等式,化简得

 

这种证明方法由于用了梯形面积公式和三角形面积公式,从而使证明更加简洁,它在数学史上被传为佳话。

2011-06-24  人教网

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